quarta-feira, 22 de maio de 2013

Raízes de Grupos e um outro Problema não relacionado!

Por Bill Bastos

Bem, promessa feita & promessa cumprida! Tive uma pequena conversação com o Prof. Alexandre e combinamos fazer um pequeno post de Teoria dos Grupos. Peço desculpas, a priori, por ter incluído um problema não relacionado ao Tema: “raízes de grupos”. Tive boas intenções! Mas quero ver para onde a conversa converge!

Raízes de Grupos

Pequeno(a) repeteco (retrospectiva):

“Dizemos que um espaço topológico $Y$ é uma raiz de um outro espaço topológico $X$ se: $X$ é homeomorfo a $Y \times Y$.”

Ops, os espaços topológicos $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^3$  e $\mathbb{S}^2$  não possuem raízes!!! Veja os posts anteriores (aqui e aqui).

Raízes de Grupos:

Nada nos impede de pensar esse problema numa versão para grupos:

Dizemos que um grupo $G = (G, *)$ tem raiz se existe um outro grupo $H = (H, . )$ de tal sorte que G é isomorfo a $H \times H$.

Nessa perspectiva, já conseguimos mostrar que $(\mathbb{Q},+)$, $(K_{p},+)$ (Um grupo de Prüfer, i.e., tome um primo $p$ e considere $K_p$ a união de todas as raízes $p^a$-ésimas da unidade, para todo $a \in \mathbb{N}$) não possuem raízes (ver seção de comentários do post anterior aqui). Ficam as seguintes perguntas:

P.1) o grupo aditivo dos reais admite raiz?

P.2) Existe um grupo $G$ tal que $G \times G$ é isomorfo a $G \times G \times G$ & G não é isomorfo a $G \times G$?

Não disponho de um exemplo ELEGANTE satisfazendo as propriedades requisitadas em P.2), i.e. bonito, mas elementar. Mas tenho uma referência onde é apresentado um; caso alguém se interesse, posso repassar!

P.3) A questão P.2) dá para ser pensada em espaços topológicos? :) Existe?

Desculpem a minha indecisão! Num consegui evitar o retorno! :(

Um Problema não relacionado:

P.4) (Problema bem conhecido na Teoria dos Grupos) Dado um grupo solúvel G, no qual todos os seus subgrupos abelianos são finitos. Então G é finito?

Grande Abraço!

ps. Gostaria de agradecer ao meu amigo Ismael Lins por me lembrar do Problema P.2), o qual está proposto no livro ``Examples of groups, Michael Weinstein''.

pps. Fico esperando a solução do Rafael para o P.1).

4 comentários:

  1. Caro Bill,

    primeiro gostaria de parabeniza-lo pelo post!
    Estou pensando sobre o problema P2 mas nao tenho uma ideia sequer; nao sei nem por onde comeccar!

    Abs

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    Respostas
    1. O Problema P.2--P.3).

      Prof. Alexandre cometi um PEQUENO (grande) erro. Mil desculpas! Troquei os isomorfismos e não isomorfismos... Não tinha percebido até hoje quando comecei a tentar hoje cedo. Na verdade, a questão é: existe um grupo G tal que

      G NÃO isomorfo a G x G & G isomorfo G x G x G. Não sei se o P.2) é valido ou não! Não consegui refutar ou achar um exemplo...

      Bem, o mal já esta feito! O que não tem remédio... remediado esta! Prof. Alexandre estou lhe devendo mais um expresso e, com isso, poderei explicar um dos métodos russos de avaliação que aprendi recentemente! Dai tenho que incluir dois adendos:

      P.2)' Existe um grupo G tal que G não é isomorfo a G x G, mas G é isomorfo a G x G x G.

      P.3)' Tal questão pode ser reformulada para espaços topológicos?

      No caso de P.2)' a referencia é Laszlo Fuchs (Infinite Abelian Groups, comentários depois do Theorem 91.6). Nessa referencia tem um exemplo "mais geral" do que o pedido em P.2)'.

      Em resumo: Rafael postou uma solução muito interessante do Problema P.1). Parabéns!! Bela solução! E, com os dois adendos, faltam 5 problemas para serem resolvidos referente ao post. Tinhamos quatro problemas, agora são cinco... Parece que quanto mais estudamos matemática, mais surgem problemas. ;) Parece o Hotel de Hilbert ( http://happyhourmatematico.blogspot.it/search/label/Teoria%20dos%20Conjuntos ).

      Grande abraço.

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  2. Consideração a respeito do Problema P.4). Me perguntaram qual a motivação do Problema

    P.4) Dado um grupo solúvel G, no qual todos os seus subgrupos abelianos são finitos. Então G é finito?

    Motivação:

    Na década de 80, Alexander Ol'shanskii mostrou que tal propriedade, i.e, a finitude dos subgrupos abelianos de um dado grupo não implica em finitude do grupo. A grosso modo, ele obteve o seguinte exemplo: dado um numero primo p suficientemente grande ( $p>10^75$ ). Existe um grupo $G = G_p$ tal que todos os seus subgrupos próprios são cíclicos de ordem p e G não é finito. E, em particular, tal grupo é 2-gerado e tem expoente p. Tais grupos ficaram conhecidos como Monstros de Tarski. Na verdade, tais exemplos dão (outros) exemplos de que o Problema de Burnside não vale em geral. Na verdade, Ol'shanskii é muito conhecido, dentre outras coisas, pela soluçao de diversos problemas importantes da Teoria dos Grupos.


    A. Ol'shanskii - http://www.ams.org/mathscinet/search/author.html?mrauthid=196218&Submit=Search

    Quem quiser saber mais sobre condiçoes de Finitude, sugiro: "N. Gupta, On groups in which every element has finite order. Amer. Math. Monthly 96 (1989), no. 4, 297--308."

    Mas a solução, a priori, não exige o conhecimento prévio desses fatos.

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