domingo, 17 de março de 2013

Positiva vezes simétrica é diagonalizável. Solução.

Hoje, trago as soluções que conheço para o problema de álgebra linear proposto na postagem anterior. Abaixo, o problema e as soluções.

Problema. Sejam A e B duas matrizes simétricas. Se A é positiva definida, então AB é diagonalizável.


A primeira solução que apresento é devida a Rafael A. da Ponte

Solucão 1. 

Mostra-se, primeiro, que os autovalores de $AB$ são reais. 

Seja $\alpha$ um autovalor de $AB$, seja $v$ um autovetor correspondente a $\alpha$ (eventualmente com entradas não-reais) e $\beta$ o conjugado de $\alpha$.  Então, teremos:

$Bv\cdot v =  v \cdot Bv $ <=> $ A^{-1}ABv\cdot v  =  v\cdot A^{-1}ABv $ <=> $A^{-1}\alpha v\cdot  v =  v\cdot A^{-1}\alpha v$ <=> $\alpha A^{-1}v\cdot v = \beta v \cdot A^{-1}v. $

Daí, teremos $\beta = \alpha$ ou $Av\cdot v = 0.$ A última possibilidade não acontece, pois $A^{-1}$ é positiva e $v$ é não nulo. Logo $\alpha$ é real. 

Uma vez mostrado que os autovalores de $AB$ são reais, supomos que $AB$ não é diagonalizável, isto é, existem $\alpha$ real e vetores $v$ e $w$ não-nulos tais que $ABv = \alpha v + w$ e $ABw = \alpha w$ (tais vetores aparecem naturalmente no Teorema de Jordan).  Então:
$Bv\cdot w  =  Bw\cdot v$ <=> $A^{-1}ABv\cdot w = A^{-1}ABw\cdot v$ <=> $\alpha A^{-1}v\cdot w + A^{-1}w\cdot w = \alpha A^{-1}w\cdot v$  <=>  $A^{-1}w\cdot w = 0.$ 
A última igualdade não pode ocorrer, uma vez que $A^{-1}$ é positiva e $w$ é não-nulo. Logo, a matriz de Jordan de $AB$ é diagonal, logo $AB$ é diagonalizável. 

Final da solução 1.

A solução seguinte conheci através do site http://math.stackexchange.com (user 1551) e coincide com a solução enviada por Diego Sousa (o autor do blog  gigamatematica)

Solução 2.

Seja $M$ matriz simétrica e invertível tal que $M^2=A.$ A existência de $M$ vem do fato de $A$ ser uma matriz positiva. Então, $AB= M (MBM) M^{-1}$, isto é, $AB$ é semelhante 
a $MBM$ que é matriz simétrica, logo $AB$ é diagonalizável.
   
Final da solução 2.


Agora, a solução que o Professor Flávio Cruz me apresentou. 

Solução 3. 

Desde que $A$ é uma matriz simétrica positiva, a seguinte função $(v,w)\rightarrow A^{-1}v\cdot w$ define um produto interno em $\mathbb{R}^n$ que faz da matriz $AB$ um operador auto-adjunto, donde diagonalizável.

Final da solucão 3.

Finalmente, gostaria de observar que a questão levantada por Diego Sousa no campo de comentários da postagem anterior, a saber: 

"qual seria a versão complexa do problema acima ?"  

foi respondida por Rafael A. da Ponte no mesmo campo de comentários fazendo referência à Solução 1 apresentada aqui.