terça-feira, 11 de dezembro de 2012

Um problema sobre distorções de curvas

Seja $\gamma$ uma curva simples e fechada em $\mathbb{R}^n$ de comprimento finito L. Dados quaisquer dois pontos distintos $p$ e $q$ sobre $\gamma$, existem exatamente dois arcos sobre a curva que conectam $p$ e $q$ e, pelo menos um deles tem comprimento $D_{\gamma}(p,q)$ menor do que ou igual à metade de L. Definimos a distância em $\gamma$ entre p e q como sendo $D_{\gamma}(p,q)$. De fato, a função $D_{\gamma}$, assim definida, é uma distância sobre a curva $\gamma$. Pois bem,  agora definimos a distorção de $\gamma$ como o supremo dos quocientes $\frac{D_{\gamma}(p,q)}{|p-q|}$ quando $p\neq q$ variam em $\gamma$.

Eis o nosso problema de hoje!

Problema. A distorção de $\gamma$ é sempre maior do que ou igual à metade de $\pi$ e, ocorre a igualdade se, e somente se, $\gamma$ é um círculo.

Na próxima postagem, trarei uma belíssima solução para este problema.