sexta-feira, 17 de fevereiro de 2012

Pontos de acumulação e aplicação de um teorema bacana

Como havíamos prometido, esta postagem é destinada a uma solução do problema abaixo, o qual  foi proposto na postagem anterior.


Problema A. Não é possível escrever o plano real como reunião de quadrados fechados dois a dois disjuntos.


Para esse fim, recorremos a um teorema bacana relacionado ao conceito de ponto de acumulação.


Antes de apresentarmos o conceito de ponto de acumulação, para evitar qualquer sentimento paranoico do tipo que  compele o indivíduo a associar qualquer conceito matemático ao cotidiano, deixamos claro que, aqui, pontos de acumulação não têm relação com programas de cartões de crédito, milhagens de companhias aéreas   ou ainda com o bem-humorado blog do Renan. De toda sorte, no parágrafo seguinte, apresentamos a definição de  ponto de acumulação de um subconjunto da reta real.


Dizemos que um número real r é um ponto de acumulação de um subconjunto X da reta real se qualquer intervalo aberto contendo r contém, necessariamente, um elemento do subconjunto X o qual é diferente de r.


Denotamos por X' o subconjunto da reta real formado pelos pontos de acumulação de X.


Teorema Bacana. Seja X um subconjunto não-vazio da reta real. Se X=X', então X não é enumerável. 


Pode-se encontrar uma prova do teorema acima no livro "Curso de Análise Vol. 1" (Projeto Euclides, IMPA) do Professor Elon Lages Lima.


Como aplicação do Teorema Bacana, vejamos a versão 1-dimensional do problema proposto no início da postagem. A versão abaixo foi proposta por Rafael na seção de comentários da postagem anterior.


Versão 1-dimensional do Problema A. Não é possível escrever a reta real como reunião de intervalos fechados dois a dois disjuntos. 


Prova da versão 1-dimensional do Problema A. De fato, por contradição, suponhamos que exista uma cobertura da reta real por intervalos fechados dois a dois disjuntos. Denotemos por F essa família de intervalos e por X o subconjunto da reta formado pelos extremos dos intervalos da família F. Considere a função que a cada intervalo dessa família associa um  racional no interior desse intervalo. Desde que os intervalos dessa cobertura são dois a dois disjuntos, temos que essa função é injetiva. Portanto, a família F é enumerável e, em particular, o conjunto X também o é. Por outro lado, é fácil ver que X=X'. Agora, pelo Teorema Bacana, temos uma contradição.


Solução do Problema A. Por contradição, suponhamos que exista uma cobertura do plano real por quadrados fechados dois a dois disjuntos. Denotemos por Q essa família de quadrados. Considere a função que a cada quadrado dessa família associa um ponto  no interior desse quadrado  que tem coordenadas racionais . Desde que os quadrados dessa cobertura são dois a dois disjuntos, temos que essa função é injetiva. Portanto, a família Q é enumerável. Em particular, o conjunto formado pelos vértices dos quadrados da família Q é enumerável. Assim, temos uma reta no plano real que não intersecta esse conjunto de vértices descrito acima.  Agora, pela construção da reta R, a interseção de R com cada quadrado da família Q ou bem é vazia ou é um intervalo fechado da reta R. Daí, temos que a reta R é coberta por uma reunião enumerável de intervalos fechados dois a dois disjuntos. O que contradiz a versão 1-dimensional do Problema A.
C.Q.D.


Para finalizar esta postagem,  gostaria de dizer que quem tiver interessado em conhecer a prova do Teorema Bacana, e não tiver acesso a uma referência, é só me enviar um mensagem que posso retorná-la com uma cópia da prova apresentada no livro Curso de Análise Vol. 1. É isso!