Dizemos que um número real é radical racional se para algum par .
Problema. Mostrar que o polinômio
A nossa solução para esse problema se baseia no seguinte resultado
Teorema A. O polinômio minimal de um radical racional é um binômio.
Quando um número real x é raiz de um polinômio com coeficientes racionais existe um único polinômio irredutível , no anel dos polinômios de coeficientes racionais, e mônico (i.e. com coeficiente líder 1) que se anula nesse número x. Tal polinômio é chamado de polinômio minimal de x. Além disso, dizemos que o grau desse polinômio minimal é o grau de x sobre os racionais.
Solução do Problema.
O polinômio é mônico e, pelo Critério de Irredutibilidade de Eisenstein, é irredutível no anel dos polinômios com coeficientes racionais. Como não é um binômio, pelo Teorema A, ele não pode se anular em um radical racional.
Final da solução
Neste parágrafo, demonstramos como utilizar o Teorema A para receber uma generalização do teste das raízes racionais para polinômios de coeficientes inteiros. Antes disso, vale a pena relembrar o teste das raízes racionais.
Teste das raízes racionais. Seja polinômio com coeficientes inteiros. Então as raízes racionais desse polinômio estão contidas no seguinte conjunto de teste
Vejamos como utilizar o teste acima para mostra que o polinômio
não possui raízes racionais. De fato, como os divisores de 1 (coeficiente líder do polinômio) são 1,-1 e os divisores de 2 (termo independente do polinômio) são 1,-1,2,-2 o conjunto de teste do polinômio acima é {1,-1,2,-2}. Como o polinômio acima não se anula no conjunto de teste, concluímos que ele não possui raízes racionais.
Uma vez relembrado o teste das raízes racionais, deixe-nos apresentar o que aqui chamamos de teste das raízes radicais racionais.
Teste das raízes radicais racionais. Seja polinômio com coeficientes inteiros. Então as raízes radicais racionais de de grau m estão contidas no conjunto de teste
a. se ou
b. caso contrario.
Prova. Seja uma raiz do polinômio que é um radical racional. Escrevemos
z é um inteiro e são polinômios irredutíveis no anel dos polinômios de coeficientes inteiros e, portanto, também são irredutíveis no anel dos polinômios de coeficientes racionais. Temos que é raiz de algum polinômio e, pelo Teorema A, segue que é um binômio, digamos . Para obter as relações em a. e b. acima, basta observar que divide no anel dos polinômios de coeficientes inteiros.
Uma vez relembrado o teste das raízes racionais, deixe-nos apresentar o que aqui chamamos de teste das raízes radicais racionais.
Teste das raízes radicais racionais. Seja polinômio com coeficientes inteiros. Então as raízes radicais racionais de de grau m estão contidas no conjunto de teste
a. se ou
b. caso contrario.
Prova. Seja uma raiz do polinômio que é um radical racional. Escrevemos
Final da prova do teste das raízes radicais racionais
Finalmente, apresentamos abaixo um roteiro de demonstração do Teorema A.
Dizemos que um para é simples se para todo inteiro positivo k tal que .
1. Para cada radical racional existe um par simples tal que .
2. Se é simples, então sempre que o inteiro positivo k for menor do que m.
3. Se é simples, então o polinômio é irredutível no anel dos polinômios de coeficientes racionais.
Dizemos que um para é simples se para todo inteiro positivo k tal que .
1. Para cada radical racional existe um par simples tal que .
2. Se é simples, então sempre que o inteiro positivo k for menor do que m.
3. Se é simples, então o polinômio é irredutível no anel dos polinômios de coeficientes racionais.