segunda-feira, 30 de abril de 2012

Teorema de Sylvester e Gallai


"Seja S um conjunto finito de pontos no plano euclidiano. Suponha que  cada reta que passa por dois pontos de S, necessariamente, contém um terceiro ponto de S. Então, os pontos de S estão sobre uma mesma reta."

O problema acima foi proposto na postagem anterior e, como prometido, hoje trago uma solução para ele. De fato, o primeiro matemático a propor esse problema foi James Joseph Sylvester em 1893. 

James Joseph Sylvester

Acredita-se que Sylvester não conhecia uma solução desse problema. A primeira prova desse resultado veio algumas décadas depois que Sylvester o propôs e é devida a Tibor Gallai. Abaixo, apresentamos a prova de Leroy Milton Kelly para o Teorema de Sylvester e Gallai.

Prova. Suponha que os pontos de S não estejam sobre uma única reta. Seja L(S) o conjunto de todas as retas que passam por dois pontos de S. Sejam p ponto de S e r reta de L(S) tais que a reta r não contém p e a distância de p a r seja a menor possível dentre tais pares. Por hipótese, a reta r contém 3 pontos de S. Digamos A, B e C (com B entre A e C). Sem perda de generalidade, podemos supor que o pé da perpendicular por p e r, o qual denotamos por Q, não está entre C e B (como na figura abaixo). 




Seja t a reta que passa por P e C (reta azul na figura acima). Denotemos por D o pé da perpendicular por B e a reta t. Assim, t  é uma reta de L(S) e B é um ponto de S que não pertence à reta t. Por outro lado, desde que os triângulos PQC e BDC são semelhantes, vemos que a distância de B à reta t é menor do que a distância de P à reta r. O que é um absurdo.


(Fonte: "As provas estão n'O LIVRO" de Aigner-Ziegler ed. Edgar Blucher LTDA).

quinta-feira, 19 de abril de 2012

Um dia de russos na polícia federal


Em uma manhã de muito calor em Fortaleza, dois sticks russos de São Petersburgo estão submetidos à burocracia brasileira para solicitação de visto permanente. Essa é exatamente a situação em que ocorre a cena abaixo.



Embora não exista uma grande fila na Polícia Federal para realização de tal procedimento, os desencontros de informações, a lista de documentos e os caprichos que envolvem tal processo deixam qualquer um nervoso. 

Mas, como estamos falando de sticks russos de São Petersburgo, a fala da cena acima não é um comentário sobre a situação chata e de ansiedade em que eles estão submetidos. Isso mesmo, a fala acima é uma proposta de desafio matemático que, obviamente, foi imediatamente aceita pelo outro stick. O problema proposto foi o seguinte:

Problema. Dados n pontos no plano euclidiano, suponha  que cada reta por dois desses pontos, necessariamente, contém um terceiro ponto do conjunto dado. Mostre que todos os pontos do conjunto dado estão sobre uma mesma reta.

Na próxima postagem, trarei uma solução do problema acima.


Créditos: problema comunicado pelo Professor Lev Birbrair da UFC.