segunda-feira, 1 de julho de 2013

Equações funcionais e Eu



Semana passada, um aluno muito crítico observou algo muito interessante que me deixou meio reflexivo; minhas soluções nas aulas de exercícios de E.D.O. são ad hoc. Em principio, não recebi a critica suavemente, todavia a crítica fez-me lembrar e motivou-me a pesquisar sobre soluções que eu considero ad hoc. Não pude escapar de um reencontro com uma classe de problemas que, realmente, eu nunca consegui achar um padrão (ou sistemática se preferir) para resolvê-los. Nessa classe, cada problema é uma história diferente. Estou falando dos problemas sobre equações funcionais. 

Em minhas pesquisas pela web, encontrei um artigo do Professor Eduardo Tengan, sobre Eq. Funcionais, publicado na Revista Eureka (aqui). Nesse artigo, o Professor Tengan esboça uma tentativa de domar tais problemas e obtém como produto um artigo que vale a pena ser lido; uma iniciativa excelente.

Durante minhas reflexões resolvi matar a saudade de resolver um desses problemas de equações funcionais que você não imagina por onde começar a resolvê-los.  Abaixo o problema.

Problema
Seja $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ uma função contínua  tal que $f(f(f(x)))=1+x^2$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Mostre que $f(x)$ é  uma função par.

Na próxima postagem a solução.

Agradecimentos. Ao meu aluno!