domingo, 18 de dezembro de 2011

Partição do plano em quadrados fechados?

"O plano euclidiano não pode ser escrito como reunião de quadrados fechados e dois a dois disjuntos". 


- Êpa! Grita um stick atento e com espírito cético dos jovens matemáticos.
- Veja o contra-exemplo abaixo! Temos um plano coberto por uma reunião de quadrados que não se sobrepõem. 






De fato, a figura acima não representa um contra-exemplo para o que afirmamos no início da postagem. Com efeito, se o pedreiro responsável pela colocação desse piso trabalhou bem, então entre cada quadrado de cerâmica acima há uma massa rejunte (assim não temos uma cobertura do plano somente pelos quadrados). Agora, se o tal pedreiro não trabalhou bem, então os quadrados de cerâmica adjacentes possuem interseção em suas fronteiras (assim a reunião não é por quadrados dois a dois disjuntos).


É isso aí! Fica o desafio para provar ou dar um contra-exemplo para a proposição acima. Na próxima postagem, espero trazer uma solução para esse enigma.