terça-feira, 22 de janeiro de 2013

Solução do problema sobre distorções de curvas

Como prometido, apresentaremos uma prova, devida a Michael Gromov, de que a distorção de uma curva fechada é maior do que ou igual à metade de $\pi$. Para ver uma definição de distorção de curvas fechadas e entender melhor o problema que estamos resolvendo, consulte a postagem anterior (aqui).

Prova. Seja $\gamma$ curva fechada de comprimento 2L. Suponhamos que $\gamma$ está parametrizada pelo comprimento de arco.  Para cada ponto p em $\gamma$, denotemos por p* o único ponto da curva tal que p e p* dividem a curva em dois arcos de comprimento L. Então, para provar a afirmação, e suficiente provar que existe um ponto p em $\gamma$ tal que |p-p*| é menor do que ou igual a 2L/$\pi$. Para tanto, suponhamos o contrario e definamos a curva $\alpha(t)=\gamma(t)-\gamma(t+\mbox{L})$ com $t$ variando entre 0 e L. Vale observar que $\alpha(t)$ é definido como a diferenca entre o ponto $\gamma(t)$ e o seu ponto * correspondente. Facilmente, vemos que $\alpha$ tem comprimento no máximo 2L. Por outro lado, $\alpha$ é uma curva cujos pontos final e inicial são antipodais e, por suposição, $\alpha$ está contida no exterior da bola euclidiana de centro na origem e raio 2L/$\pi$. Por isso, $\alpha$ deve ter comprimento maior do que o de uma semicircunferência de raio 2L/$\pi$, ou seja, $\alpha$ tem comprimento maior do que 2L. O que é o desejado absurdo.
Final da Prova.

Fica como desafio provar que se a distorção de $\gamma$ vale a metade de $\pi$, então $\gamma$ deve ser um circulo.

Até a próxima.