domingo, 22 de setembro de 2013

Parabéns pelo blog, Rui!

Conversando sobre matemática se estuda melhor é o Blog do meu amigo Professor Rui Brasileiro, o qual seguiremos a partir de hoje. Na mais recente postagem do Rui, ele resolve o problema do Triângulo Russo de forma extremamente elegante; vale a pena conferir!  


Sinceros votos de sucesso e parceria! 

Happy Hour Matematico.

segunda-feira, 16 de setembro de 2013

Irracionalidade de Raiz de 2

Esta semana, recebi um email de meu amigo Professor Diego Marques (UNB) comunicando que iniciara um projeto de postagem dos vídeos de suas palestras em um canal no youtube. Excelente iniciativa!!! Fui lá conferir. O primeiro vídeo é uma bela palestra em que o  Diego apresenta algumas provas da irracionalidade de $\sqrt{2}$ com o objetivo apresentar técnicas de  prova que são utilizadas em outros problemas correlatos. Esse vídeo corresponde à primeira aula de um minicurso sobre Teoria dos Números ministrado no IMPA.

Abaixo, compartilho o link  do referido vídeo

https://www.youtube.com/watch?v=uhZf8Oa2F7Q  

Antes de finalizar esta postagem, gostaria de dar a minha contribuição apresentando uma prova da irracionalidade de $\sqrt{2}$ diferente das apresentadas pelo Diego.

Observe que se a soma de dois quadrados de inteiros, digamos $m^2+n^2$, é divisível por 3 então cada inteiro, $m$ e $n$, é divisível por 3. Logo, se supusermos que $\sqrt{2}$ seja um número racional, podemos escrever $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$, em que $m$ e $n$ são números inteiros primos entre si. Então, $3n^2=m^2+n^2$, daí $m$ e $n$ necessariamente são múltiplos de 3. Absurdo!

Ah! Quase me esqueci que havia prometido que apresentaria, nesta postagem, uma solução do problema abaixo . 

Problema. Seja $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ uma função contínua tal que $f(f(f(x)))=x^2+1$ para todo $x$. Mostre que $f$ é uma função par.

Solução. Desde que $x^2+1>x$ para todo $x$, temos que $f$ não possui ponto fixo. Em particular, $f(0)\neq 0$. Sejam
$P=\{x : f(x)=f(-x)\}$ e $I=\{x : f(x)=-f(-x)\}$. Como $f$ é contínua, Temos que os subconjuntos acima são subconjuntos fechados de $\mathbb{R}$. Mostraremos que:

1. $\mathbb{R}=P\cup I$;

2. $P\cap I=\emptyset$.

Uma vez provados 1 e 2,desde que $\mathbb{R}$ é conexo e $0\in P$, segue  que $P=\mathbb{R}$, isto é, $f$ é uma função par.

Prova de 1.  

Dado $x$, temos que $f(x)^2+1=f(f(f(f(x))))=f(x^2+1)$. Portanto, $f(-x)^2+1=f(x)^2+1$, isto é, $x\in P\cup I$.

Prova de 2

Por contradição, suponha que $x\in P\cap I$. Logo $f(x)=0$ e $f(-x)=0$. Como $f(0)\neq 0$, garantimos a existência de um y positivo tal que $f(y)=0$.

Temos $f(1)=f(0^2+1)=f(f(f(f(0))))=f(0)^2+1>1$. Assim, a função $g(z)=f(z)-z$ é positiva no ponto 1 e negativa no ponto y. Pelo Teorema do Valor Intermediário, a função $g$ tem um zero, isto é, a função $f$ tem um ponto fixo. O que é um absurdo.

C.Q.D.