A convite do prof. Alexandre, estou aqui para continuar a série de postagens sobre raízes. Agradeço o chamado, professor!
Nesse post "contrariaremos" a resposta da pergunta que originou toda a discussão:
"$\mathbb{R}$ possui raiz?"
Na verdade, consideraremos agora o grupo aditivo dos reais, e não mais a reta como espaço topológico (naturalmente, o conceito de raiz é o algébrico, já apresentado pelo Bill em duas oportunidades). Vale lembrar que essa pergunta é a primeira da postagem anterior (aqui).
Então, vamos à solução:
Suponhamos primeiro que ($\mathbb{R}$,+) possui uma raiz ($X$, digamos). Consideraremo-la um subgrupo aditivo de $\mathbb{R}$, da maneira canônica. É simples de ver que $X$, com as operações usuais, é um subespaço de $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$ (dado qualquer natural $q$ e $x$ em $X$, existe $(a,b)$ em $X\times X$ tal que $q.(a,b) = (x,0)$, logo $b=0$, e assim $a \in X$ é tal que $a=x/q$, daí segue da estrutura de grupo que $X$ é fechado por produto por escalar).
Disso segue que $X$ é raiz da reta na estrutura de espaço vetorial sobre $\mathbb{Q}$ (o que nos dá mais um conceito de raiz, dessa vez no contexto de espaços vetoriais).
Feito isso, note que se $B$ é base de Hamel de $X$, $B\times \{ 0 \} \cup \{ 0 \}\times B$ é base de $X\times X$ e suas imagens serão uma base de Hamel de $\mathbb{R}$. Daí, o problema de achar uma raiz de ($\mathbb{R}$,+) resume-se a, dada uma base de Hamel $H$ de $\mathbb{R}$, encontrarmos um subconjunto $B$ contido em $H$ em bijeção com $H\backslash B$.
Para isso, defina o conjunto dos pares $(C,f)$, $C$ contido em $H$ e $f: C\rightarrow H\C$ injetivas ordenado com $(C,f)\leq(D,g) \Leftrightarrow C \subset D$ e $g$ estende $f$. Esse conjunto satisfaz as condições do Lema de Zorn, logo tem um elemento maximal $(B,h)$. Agora, verifique que $(H\backslash B) \backslash h(B)$ tem, no máximo, um elemento, e em ambos os casos de cardinalidades de $(H\backslash B) \backslash h(B)$, $B$ é um subconjunto como pedimos no parágrafo acima.
Fim da solução.
É isso aí. Até a próxima vez!
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