Complementar de curvas algébricas em $\mathbb{R}^2$ II

A postagem de hoje é destinada a apresentação de uma solução para o seguinte problema.

Problema. O complemento de um subconjunto algébrico de $\mathbb{R}^2$ não é homeomorfo a $\mathbb{R}^2$.

Solução. Seja p(x,y) um polinômio irredutível que não muda de sinal em $\mathbb{R}^2$. Mostraremos que o conjuntos dos zeros deste polinômio é finito. De fato, dado (a,b) ponto que anula aquele polinômio, temos que, para qualquer que seja o vetor (u,v), a função real de uma variável real $t$ dada por

f(t)=p(a+tu,b+tv)

possui um ponto de mínimo em t=0, portanto, f'(0)=0, ou seja, o gradiente de  p(x,y) no ponto (a,b)  é ortogonal ao vetor (u,v). Desde que escolhemos o vetor (u,v) arbitrariamente, constatamos que o gradiente de p(x,y) se anula no ponto  (a,b).  Segue do Teorema de Bezout que  o conjunto dos zeros de p(x,y) é finito.

Suponhamos que X seja definido por um polinômio p(x,y). Isto é, X é o conjunto dos pontos (x,y) em que p(x,y)=0. Se os fatores irredutíveis de p(x,y) não mudam de sinal em $\mathbb{R}^2$ temos que X é um conjunto finito (foi o que vimos acima). Assim, o complemento de X  não é simplesmente conexo.

Então, resta-nos supor que p(x,y) possui um fator irredutível q(x,y) que muda de sinal em $\mathbb{R}^2$. Desta forma, os conjuntos abaixo

• pontos (x,y) em que q(x,y) é positivo
• pontos (x,y) em que q(x,y) é negativo

são abertos, disjuntos e não-vazios. Como o complemento de X é um subconjunto denso do plano que está contido na reunião dos conjuntos acima, temos que ele não é conexo.

C.Q.D.

Antes de finalizar esta postagem, gostaria de informar que o problema acima possui uma versão em dimensão n, quero dizer, temos o seguinte resultado em $\mathbb{R}^n$.

Teorema. O complemento de um subconjunto algébrico de $\mathbb{R}^n$ não é homeomorfo a $\mathbb{R}^n$.

Recentemente, meu aluno de mestrado, Rodrigo Mendes Pereira, escreveu sua dissertação sobre Homologia Semialgébrica sobre corpos reais fechados e provou uma versão do teorema acima para $\mathbb{K}^n$, em que $\mathbb{K}$ é um corpo real fechado. Por isto, convidei o Rodrigo a escrever uma postagem para este blog  trazendo uma demonstração para o teorema acima. Já estamos esperando, Rodrigo!