"Seja S um conjunto finito de pontos no plano euclidiano. Suponha que cada reta que passa por dois pontos de S, necessariamente, contém um terceiro ponto de S. Então, os pontos de S estão sobre uma mesma reta."
O problema acima foi proposto na postagem anterior e, como prometido, hoje trago uma solução para ele. De fato, o primeiro matemático a propor esse problema foi James Joseph Sylvester em 1893.
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| James Joseph Sylvester |
Acredita-se que Sylvester não conhecia uma solução desse problema. A primeira prova desse resultado veio algumas décadas depois que Sylvester o propôs e é devida a Tibor Gallai. Abaixo, apresentamos a prova de Leroy Milton Kelly para o Teorema de Sylvester e Gallai.
Prova. Suponha que os pontos de S não estejam sobre uma única reta. Seja L(S) o conjunto de todas as retas que passam por dois pontos de S. Sejam p ponto de S e r reta de L(S) tais que a reta r não contém p e a distância de p a r seja a menor possível dentre tais pares. Por hipótese, a reta r contém 3 pontos de S. Digamos A, B e C (com B entre A e C). Sem perda de generalidade, podemos supor que o pé da perpendicular por p e r, o qual denotamos por Q, não está entre C e B (como na figura abaixo).
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Seja t a reta que passa por P e C (reta azul na figura acima). Denotemos por D o pé da perpendicular por B e a reta t. Assim, t é uma reta de L(S) e B é um ponto de S que não pertence à reta t. Por outro lado, desde que os triângulos PQC e BDC são semelhantes, vemos que a distância de B à reta t é menor do que a distância de P à reta r. O que é um absurdo.
(Fonte: "As provas estão n'O LIVRO" de Aigner-Ziegler ed. Edgar Blucher LTDA).
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