sábado, 15 de outubro de 2011

Curvas de Jordan no Toro


Nosso amigo stick, apresentado na postagem anterior,  aprendeu em seu livro de topologia o que são curvas simples e fechadas (ou simplesmente curvas de Jordan)




Além disso, ele aprendeu que uma vez traçada uma curva de Jordan C sobre a esfera, os pontos da esfera que não estão na curva C podem ser agrupados em duas regiões que satisfazem a seguinte propriedade: os pontos de uma dessas regiões não podem ser ligados a pontos da outra região sem cruzar a curva C. Mais ainda, pontos de uma mesma região podem ser ligados por caminhos contidos na região.



Esse resultado, conhecido como o Teorema da Curva de Jordan, já foi contado e recontado em livros, artigos, blogs, dissertações, vídeos, de modo que é fácil encontrar boas referências sobre o assunto.   Segue um enunciado simplificado do Teorema de Jordan.



"Curvas de Jordan dividem a esfera em dois territórios "



Na figura acima, temos uma curva de Jordan em vermelho e as regiões que compõem o complementar da curva na esfera estão em azul e bege. 

Aplicação do conhecimento adquirido: sempre que o stick deseja se livrar do seu fiel companheiro, porém muito chato, cão stick, ele demarca duas regiões traçando uma curva de Jordan no solo e sobre a curva levanta uma cerca suficientemente alta.





Convidamos o stick, juntamente com o seu pegajoso cão stick, a visitar um planeta imaginário cuja superfície tem a forma de uma bóia salva-vidas  ou um biscoito do tipo rosquinha (donuts) ou ainda uma câmara de ar de pneu. Já chega, acho que vocês já me entenderam! De toda forma, vejam a figura abaixo.



Agora, sobre a superfície do estranho planeta imaginário, doravante chamado de planeta toro, sugerimos ao stick que utilize seus conhecimentos de topologia para isolar o insuportável cão.


Pouco tempo depois de o stick isolar o desagradável cão, como mágica, o enfadonho se junta ao seu dono, demonstrando assim que a intuição adquirida pelo stick não funciona no planeta toro. 



Isso mesmo, na sua primeira tentativa de traçar sobre o planeta toro uma curva Jordan e sobre essa curva levantar uma cerca suficientemente alta para isolar o cínico cão, o stick descobriu que existem curvas de Jordan no planeta toro cujos pontos de seu  complementar sempre podem ser conectados por um caminho que não cruza a curva de Jordan. 

Veja abaixo a trajetória (em azul) percorrida pelo cão para se juntar ao seu dono sem cruzar a cerca levantada sobre a curva de Jordan (em vermelho)



Problema. Descrever um algoritmo tal que sempre que o stick traçar uma curva de Jordan sobre a superfície do planeta toro ele possa decidir se a tal curva divide o toro em dois territórios.



Na próxima postagem, espero apresentar uma solução razoável para o problema acima. Enquanto isso, convido vocês a uma discussão sobre a solução desse problema. A área de comentários está de portas abertas!



2 comentários:

  1. Basta pegar as curvas de jordan que sejam contráteis.
    Pois toda curva de jordan na esfera é contrátil.

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  2. Ok meu caro amigo Braf, você está correto ao afirmar que as curvas de Jordan que demarcam dois territórios no toro são exatamente as curvas que se deformam em um ponto sobre o toro. Agora, o problema pede um algoritmo efetivo (que possa ser implementado pelo stick que não tem uma macro visão do planeta) para decidir se uma curva de Jordan divide o toro em dois territórios. Então, acredito que você reduziu o problema à seguinte questão: encontrar um algoritmo para decidir se uma dada curva de Jordan pode ser deformada em um ponto sobre o toro.

    Valeu!

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