Problema. Encontrar um algoritmo tal que ao traçar uma curva de Jordan sobre a superfície do toro seja possível decidir se a curva demarca dois territórios sobre o toro.
A solução abaixo exige um pouco de familiaridade com topologia.
Solução. Fixamos um paralelo f (em verde na figura abaixo) e um meridiano g (em azul na figura abaixo) com orientações definidas na figura.
Para cada ponto P no cruzamento da curva de Jordan J (em vermelho abaixo) com o paralelo f , definimos um número i(J,f,P) da seguinte forma:
i(J,f,P)=1 se o cruzamento ocorrer da seguinte forma
Analogamente, para cada ponto Q no cruzamento da curva de Jordan J com o meridiano g definimos o número i(J,g,Q) e, também, definimos o número inteiro m(g,J) como a soma de todos os números i(J,g,Q) variando Q nos pontos de cruzamento de J com g.
Finalmente, temos que J divide o toro em dois territórios se, e somente se, os números inteiros m(f,J) e m(g,J) são iguais a zero.
Final da solução.
A partir daqui, mostramos porque o algoritmo acima funciona! A solução que apresentamos acima está fundamentada nos seguintes resultados.
Primeiro Resultado. Uma curva de Jordan demarca dois territórios no toro se, e somente se, ela pode ser continuamente deformada em um ponto sobre o toro.
Esse primeiro resultado não é trivial. No final da postagem segue uma ideia de sua prova.
Segundo Resultado. O grupo fundamental do toro é isomorfo ao grupo abeliano livre gerado por dois elementos.
m(f,J) f + m(g,J) g
Para finalizar a postagem, apresentamos abaixo uma ideia da prova do Primeiro Resultado.
Seja J uma curva de Jordan no toro.
Afirmação 1.
J se deforma em um ponto se, e só se, J é fronteira de um disco no toro
No caso em que J se deforma em um ponto, de acordo com o Teorema de Monodromia, o seu levantamento para o recobrimento universal do toro (no caso o plano) é uma curva de Jordan também e, pelo Teorema Clássico da Curva de Jordan, tal levantamento divide o plano em dois territórios e um desses territórios D é um disco topológico que tem o levantamento de J como fronteira. Com um pouco de esforço, mostra-se que a restrição do recobrimento a D é um homeomorfismo sobre a sua imagem e, portanto, J é fronteira de um disco topológico no toro. A recíproca é clara.
Afirmação 2.
J é fronteira de um disco, se e só se, J demarca territórios no toro.
Suponhamos que J divide o toro em dois territórios A e B. Sejam A' a reunião de A com J e B' a reunião de B com J. Abaixo temos figuras que dão uma ideia do que sejam A' e B'.
Se, após o corte do toro ao longo da curva J, obtemos as figuras como as que estão imediatamente acima, temos que J é fronteira do disco topológico B. Demonstremos agora que devemos ter exatamente as figuras acima, após o corte do toro ao longo da curva J. De fato, se colamos um disco a A' (respectivamente B') colando a fronteira do disco à curva J obtemos duas superfícies fechadas no espaço cuja soma conexa é exatamente o toro. Pela classificação das superfícies fechadas, temos que umas delas é um toro e a outra é uma esfera, pois essa é a única possibilidade de se obter um toro como soma conexa de duas superfícies fechadas. Sem perda de generalidade, podemos supor que a esfera foi obtida de B' por colagem de um disco ao longo de J. Portanto, B' é exatamente como na figura acima.
A recíproca não oferece resistência.
Realmente, tava ruim de eu conseguir fazer tal algoritmo.
ResponderExcluirCaro amigo Braf,
ResponderExcluiro problema do nosso amigo stick não acabada aqui! Estou pensando em convidá-lo, juntamente com o seu indesejável cão, a visitar o planeta bi-toro.