A reta possui raiz: um ponto de vista algébrico

Por Rafael A. da Ponte

A convite do prof. Alexandre, estou aqui para continuar a série de postagens sobre raízes. Agradeço o chamado, professor! 

Nesse post "contrariaremos" a resposta da pergunta que originou toda a discussão:

"$\mathbb{R}$ possui raiz?" 

Na verdade, consideraremos agora o grupo aditivo dos reais, e não mais a reta como espaço topológico (naturalmente, o conceito de raiz é o algébrico, já apresentado pelo Bill em duas oportunidades). Vale lembrar que essa pergunta é a primeira da postagem anterior (aqui).

Então, vamos à solução:

Suponhamos primeiro que ($\mathbb{R}$,+) possui uma raiz ($X$, digamos). Consideraremo-la um subgrupo aditivo de $\mathbb{R}$, da maneira canônica. É simples de ver que $X$, com as operações usuais, é um subespaço de $\mathbb{R}$ sobre $\mathbb{Q}$ (dado qualquer natural $q$ e $x$ em $X$, existe $(a,b)$ em $X\times X$ tal que $q.(a,b) = (x,0)$, logo $b=0$, e assim $a \in X$ é tal que $a=x/q$, daí segue da estrutura de grupo que $X$ é fechado por produto por escalar). 

Disso segue que $X$ é raiz da reta na estrutura de espaço vetorial sobre $\mathbb{Q}$ (o que nos dá mais um conceito de raiz, dessa vez no contexto de espaços vetoriais).

Feito isso, note que se $B$ é base de Hamel de $X$, $B\times \{ 0 \} \cup \{ 0 \}\times B$ é base de $X\times X$ e suas imagens serão uma base de Hamel de $\mathbb{R}$. Daí, o problema de achar uma raiz de ($\mathbb{R}$,+) resume-se a, dada uma base de Hamel $H$ de $\mathbb{R}$, encontrarmos um subconjunto $B$ contido em $H$ em bijeção com $H\backslash B$.

Para isso, defina o conjunto dos pares $(C,f)$, $C$ contido em $H$ e $f: C\rightarrow H\C$ injetivas ordenado com $(C,f)\leq(D,g) \Leftrightarrow C \subset D$ e $g$ estende $f$. Esse conjunto satisfaz as condições do Lema de Zorn, logo tem um elemento maximal $(B,h)$. Agora, verifique que $(H\backslash B) \backslash h(B)$ tem, no máximo, um elemento, e em ambos os casos de cardinalidades de $(H\backslash B) \backslash h(B)$, $B$ é um subconjunto como pedimos no parágrafo acima.

Fim da solução.

É isso aí. Até a próxima vez!

Raízes de Grupos e um outro Problema não relacionado!

Por Bill Bastos

Bem, promessa feita & promessa cumprida! Tive uma pequena conversação com o Prof. Alexandre e combinamos fazer um pequeno post de Teoria dos Grupos. Peço desculpas, a priori, por ter incluído um problema não relacionado ao Tema: “raízes de grupos”. Tive boas intenções! Mas quero ver para onde a conversa converge!

Raízes de Grupos

Pequeno(a) repeteco (retrospectiva):

“Dizemos que um espaço topológico $Y$ é uma raiz de um outro espaço topológico $X$ se: $X$ é homeomorfo a $Y \times Y$.”

Ops, os espaços topológicos $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^3$  e $\mathbb{S}^2$  não possuem raízes!!! Veja os posts anteriores (aqui e aqui).

Raízes de Grupos:

Nada nos impede de pensar esse problema numa versão para grupos:

Dizemos que um grupo $G = (G, *)$ tem raiz se existe um outro grupo $H = (H, . )$ de tal sorte que G é isomorfo a $H \times H$.

Nessa perspectiva, já conseguimos mostrar que $(\mathbb{Q},+)$, $(K_{p},+)$ (Um grupo de Prüfer, i.e., tome um primo $p$ e considere $K_p$ a união de todas as raízes $p^a$-ésimas da unidade, para todo $a \in \mathbb{N}$) não possuem raízes (ver seção de comentários do post anterior aqui). Ficam as seguintes perguntas:

P.1) o grupo aditivo dos reais admite raiz?

P.2) Existe um grupo $G$ tal que $G \times G$ é isomorfo a $G \times G \times G$ & G não é isomorfo a $G \times G$?

Não disponho de um exemplo ELEGANTE satisfazendo as propriedades requisitadas em P.2), i.e. bonito, mas elementar. Mas tenho uma referência onde é apresentado um; caso alguém se interesse, posso repassar!

P.3) A questão P.2) dá para ser pensada em espaços topológicos? :) Existe?

Desculpem a minha indecisão! Num consegui evitar o retorno! :(

Um Problema não relacionado:

P.4) (Problema bem conhecido na Teoria dos Grupos) Dado um grupo solúvel G, no qual todos os seus subgrupos abelianos são finitos. Então G é finito?

Grande Abraço!

ps. Gostaria de agradecer ao meu amigo Ismael Lins por me lembrar do Problema P.2), o qual está proposto no livro ``Examples of groups, Michael Weinstein''.

pps. Fico esperando a solução do Rafael para o P.1).

A reta não possui raiz (topológica). Solucão.

Na postagem anterior, propusemos o seguinte problema.

Não existe um espaço topológico $X$ tal que $\mathbb{R}$ seja homeomorfo a $X\times X$.

Abaixo, segue a solução apresentada pelo leitor Rodrigo Mendes. Eu tinha prometido postar a minha solução, mas mudei de ideia!

Solução

Se um tal espaço $X$ existe, então $X$ deve ser de Hausdorff e conexo. Mais ainda, desde que $X$ é  homeomorfo ao subconjunto diagonal de $X\times X$,  o qual é  um fechado de $X\times X$, devemos ter $X$ homeomorfo a um intervalo fechado de $\mathbb{R}$. Absurdo pois $\mathbb{R}$ não é  homeomorfo a um produto de dois intervalos.

                                                                   Final da Solução

Antes de finalizar esta postagem, gostaria de agradecer a todos que comentaram na postagem anterior e observar que aquela discussão sobre raizes de grupos foi bem interessante. Em primeira mão anuncio que Rafael e Bill prometeram postagens sobre esse assunto; já estamos esperando! 

A reta não possui raiz

Iniciei meu final de semana lendo o artigo intitulado "$\mathbb{R}^3$ has no root" escrito por Robbert Fokkink e publicado em 2002 no periódico American Math. Monthly. Fokkink mostra que não existe um espaço topológico $X$ tal que $\mathbb{R}^3$ seja homeomorfo a $X\times X$, isto é exatamente o que Fokkink entende por $\mathbb{R}^ 3$ não possuir uma raiz. Como Fokkink observa no artigo, é possível mostrar que $\mathbb{R}^3$ não possui raiz utilizando a fórmula de Kunneth para grupos de homologia local de espaços euclidianos, contudo a ideia de Fokkink é trazer uma prova elementar daquele fato. A prova de Fokkink é elementar e se baseia somente na seguinte observação

- Se $h\colon\mathbb{R}^ n\rightarrow\mathbb{R}^ n$ é um homeomorfismo, então $h^ 2=h\circ h$ é um homeomorfismo que preserva orientação.

Resolvi fazer uma pergunta mais básica; 

- $\mathbb{R}$ possui raiz ?

Utilizando somente Topologia Geral, cheguei a uma resposta negativa da pergunta acima. Então, fica prometido que na próxima postagem trarei a minha demonstração de que $\mathbb{R}$ não possui raiz.

Bom final de semana!