quarta-feira, 27 de fevereiro de 2013

Positiva vezes simétrica é diagonalizável



A cena acima descreve parte do meu encontro, na última segunda-feira, com meu amigo Flávio. Flávio é um matemático que trabalha sobre imersões isométricas. 

Pois bem! Após a saudação, minhas próximas  palavras foram: 

- Rafael, aluno do bacharelado em matemática da UFC (e leitor deste blog!), resolveu o problema que você propôs.

O problema proposto pelo Professor Flávio era um problema de Álgebra Linear que apareceu como subproduto de sua pesquisa.

Eis o dito cujo!

Problema. Sejam A e B duas matrizes simétricas. Se A é positiva definida, então AB é diagonalizável.

Ops! Quase esquecia de falar qual é a relação do Professor Flávio com o Icasa. Icasa é um time de futebol aqui no Ceará que vive um momento de distinção entre os times cearenses porque será um dos nossos representantes na série B (isso mesmo, série B) do campeonato brasileiro de 2013. E, obviamente, o professor Flávio é um dos esperançosos torcedores do Icasa. Salve Icasa!

Sobre o problema acima, hoje  conheço 3 soluções para ele: a solução do Rafael, a do Professor Flávio e uma outra que encontrei no site http://math.stackexchange.com/

Na próxima postagem, mostrarei as 3 soluções!

4 comentários:

  1. Confesso que quebrei bastante a cabeça procurando uma solução simples, estou esperando a solução, até lá vou pensar bastante nesse problema.

    As matrizes neste caso estão definidas sobre $\mathbb{R}$. Como ficaria a versão sobre $\mathbb{C}$? Podemos considerar as matrizes Hermitianas no lugar de simétricas com o resultado ainda valendo?

    Até mais!

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  2. Oi Diego!

    De fato, as matrizes estão definidas sobre $\mathbb{R}$. Vou pensar na tua pergunta sobre o que ocorre no caso complexo.

    Obrigado pelo comentario.

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  3. Olá, professor. Obrigado por ter me citado nessa postagem. Sobre a possível extensão do resultado para $\mathbb{C}$, ela continua valendo nesse caso quando fazemos a substituição "simétrica-Hermitiana", podendo ainda obter que os autovalores do produto são reais. A prova é idêntica à do caso real (pelo menos a minha).

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  4. Oi Rafael,

    obrigado pelo comentário. Realmente, vc tem razão sobre o resultado ser válido em $\mathbb{C}$.

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É possível comentar utilizando a linguagem LaTeX! Vale a pena lembrar que as expressões matemáticas no LaTex devem ser escritas entre cifrões. Por exemplo, para obter $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, você deve escrever f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} entre cifrões.