Desigualdade de Weyl

Em 2007, um conhecido stick, um stick que de certa forma é observado pelos seus pares,  um tipo que se expressa com uma mão no bolso de sua calça e a outra livre fazendo movimentos como de um maestro que comanda uma orquestra sinfônica (acho que não sei defini-lo!), apresentou-me o seguinte problema:

É bem conhecido que os autovalores de uma matriz simétrica variam continuamente com a matriz. Podemos afirmar que essa variação é lipschitziana?

Aceitei o desafio e, juntamente com um colega de trabalho, obtive uma resposta positiva para a pergunta acima. Contudo, a solução obtida era muito feia e, para mim, aquela prova merecia ser esquecida. Antes de esquecê-la, refleti bastante sobre a seguinte frase de Michel Atiyah

"Existe teorema bonito com prova feia, mas não existe teorema feio com prova bonita".

Certamente, a dependência Lipschitz dos autovalores de uma matriz simétrica é um teorema bonito e, embora Sir Michael Atiyah trouxesse a permissão de termos provas feias para teoremas bonitos, eu sentia que aquele não seria o caso em que eu deveria me conformar com aquela prova, porque ela era demasiadamente feia. 

Pouco tempo depois, ministrando uma disciplina de álgebra linear, conheci uma prova adequada para a variação lipschitziana dos autovalores de matrizes simétricas.

O objetivo de hoje é mostrar de uma forma muito elegante a Desigualdade de Weyl, desigualdade que responde positivamente à pergunta daquele stick legal.

A partir daqui, passo à apresentação direta da Desigualdade de Weyl e sua prova. 

Inicialmente, lembramos que o espaço das matrizes de ordem $n$ admite uma norma definida da seguinte maneira: dada uma matriz $A$ de ordem $n$, $$\|A \|= max\{|Ax| \ : \ x\in\mathbb{R}^n, |x|=1\}.$$
No caso em que $A$ é uma matriz simétrica é muito fácil mostrar que $\|A\|$ coincide com o maior valor absoluto dos autovalores de $A$.

Antes de enunciarmos a desigualdade de Weyl, consideremos mais algumas notações. Para cada matriz simétrica $M$ de de ordem $n$, estabelecemos que o i-ésimo autovalor de $M$, denotado por $\lambda_i(M)$, respeita a seguinte ordem   $$\lambda_1(M)\geq\cdots\geq\lambda_n(M).$$
Utilizamos $x\cdot y$ para representar o produto interno euclidiano entre os vetores $x$ e $y$ em $\mathbb{R}^n$.

Desigualdade de Weyl
Sejam $A$ e $B$ matrizes simétricas de ordem $n$. Então, vale a seguinte desigualdade: $|\lambda_i(A)-\lambda_i(B) | \leq \| A-B \|, \ i=1,\dots,n$.

Prova. Sejam $\{x_1,\dots,x_n\}$ e $\{y_1,\dots,y_n\}$ bases ortonormais de $\mathbb{R}^n$ em que $x_i$ é autovetor de $A$ associado ao i-ésimo autovalor de $A$ e $y_i$ é autovetor de $B$ associado ao i-ésimo autovalor de $B$. Para cada $j=1,\dots,n$, seja $z_j$ vetor unitário na interseção dos subespaços $span\{x_1,\dots,x_j\}$ e $span\{y_j,\dots,y_n\}$. Como $\lambda_j(A)\leq Az_j\cdot z_j$ e $\lambda_j(B)\geq Bz_j\cdot z_j$, obtemos:

$\lambda_j(A)-\lambda_j(B)\leq \lambda_1(A-B)$.

Substituíndo $A$ por $-A$ e $B$ por $-B$ na desigualdade acima, obtemos:

$\lambda_j(A)-\lambda_j(B)\geq \lambda_n(A-B)$.

Juntando as duas últimas desigualdades, obtemos a almejada desigualdade de Weyl.

Final da Prova