Hoje, trago as soluções que conheço para o problema de álgebra linear proposto na postagem anterior. Abaixo, o problema e as soluções.
Problema. Sejam A e B duas matrizes simétricas. Se A é positiva definida, então AB é diagonalizável.
A primeira solução que apresento é devida a Rafael A. da Ponte
Solucão 1.
Mostra-se, primeiro, que os autovalores de AB são reais.
Seja α um autovalor de AB, seja v um autovetor correspondente a α (eventualmente com entradas não-reais) e β o conjugado de α. Então, teremos:
Bv⋅v=v⋅Bv <=> A−1ABv⋅v=v⋅A−1ABv <=> A−1αv⋅v=v⋅A−1αv <=> αA−1v⋅v=βv⋅A−1v.
Daí, teremos β=α ou Av⋅v=0. A última possibilidade não acontece, pois A−1 é positiva e v é não nulo. Logo α é real.
Uma vez mostrado que os autovalores de AB são reais, supomos que AB não é diagonalizável, isto é, existem α real e vetores v e w não-nulos tais que ABv=αv+w e ABw=αw (tais vetores aparecem naturalmente no Teorema de Jordan). Então:
Bv⋅w=Bw⋅v <=> A−1ABv⋅w=A−1ABw⋅v <=> αA−1v⋅w+A−1w⋅w=αA−1w⋅v <=> A−1w⋅w=0.
A última igualdade não pode ocorrer, uma vez que A−1 é positiva e w é não-nulo. Logo, a matriz de Jordan de AB é diagonal, logo AB é diagonalizável.
Final da solução 1.
A solução seguinte conheci através do site http://math.stackexchange.com (user 1551) e coincide com a solução enviada por Diego Sousa (o autor do blog gigamatematica)
Solução 2.
Seja M matriz simétrica e invertível tal que M2=A. A existência de M vem do fato de A ser uma matriz positiva. Então, AB=M(MBM)M−1, isto é, AB é semelhante
a MBM que é matriz simétrica, logo AB é diagonalizável.
Final da solução 2.
Agora, a solução que o Professor Flávio Cruz me apresentou.
Solução 3.
Desde que A é uma matriz simétrica positiva, a seguinte função (v,w)→A−1v⋅w define um produto interno em Rn que faz da matriz AB um operador auto-adjunto, donde diagonalizável.
Final da solucão 3.
Finalmente, gostaria de observar que a questão levantada por Diego Sousa no campo de comentários da postagem anterior, a saber:
"qual seria a versão complexa do problema acima ?"
foi respondida por Rafael A. da Ponte no mesmo campo de comentários fazendo referência à Solução 1 apresentada aqui.
