Como prometido, apresentaremos uma prova, devida a Michael Gromov, de que a distorção
de uma curva fechada é maior do que ou igual à metade de π. Para ver uma definição
de distorção de curvas fechadas e entender melhor o problema que estamos
resolvendo, consulte a postagem anterior (aqui).
Prova. Seja γ
curva fechada de comprimento 2L. Suponhamos que γ está parametrizada
pelo comprimento de arco. Para cada
ponto p em γ, denotemos por p* o único ponto da curva tal que p e p*
dividem a curva em dois arcos de comprimento L. Então, para provar a afirmação,
e suficiente provar que existe um ponto p em γ tal que |p-p*| é menor do que ou igual a 2L/π. Para tanto, suponhamos o contrario e definamos a
curva α(t)=γ(t)−γ(t+L) com t variando entre 0 e L. Vale observar que α(t) é definido como a diferenca entre o ponto γ(t) e o seu ponto * correspondente. Facilmente, vemos que α tem comprimento no máximo 2L. Por outro lado, α é uma
curva cujos pontos final e inicial são antipodais e, por suposição, α está
contida no exterior da bola euclidiana de centro na origem e raio 2L/π.
Por isso, α deve ter comprimento maior do que o de uma semicircunferência
de raio 2L/π, ou seja, α tem comprimento maior do que 2L. O
que é o desejado absurdo.
Final da Prova.
Fica como desafio
provar que se a distorção de γ vale a metade de π, então γ
deve ser um circulo.
Até a próxima.
