Seja γ uma curva simples e fechada em Rn de comprimento finito L. Dados quaisquer dois pontos distintos p e q sobre γ, existem exatamente dois arcos sobre a curva que conectam p e q e, pelo menos um deles tem comprimento Dγ(p,q) menor do que ou igual à metade de L. Definimos a distância em γ entre p e q como sendo Dγ(p,q). De fato, a função Dγ, assim definida, é uma distância sobre a curva γ. Pois bem, agora definimos a distorção de γ como o supremo dos quocientes Dγ(p,q)|p−q| quando p≠q variam em γ.
Eis o nosso problema de hoje!
Problema. A distorção de γ é sempre maior do que ou igual à metade de π e, ocorre a igualdade se, e somente se, γ é um círculo.
Na próxima postagem, trarei uma belíssima solução para este problema.
