Complementar de curvas algébricas em $\mathbb{R}^2$

Eu e Renan (meu aluno de iniciação científica), recentemente, quando estudávamos o Teorema de Newman (ver abaixo), deparamo-nos com o seguinte problema: se removermos um subconjunto algébrico, próprio, do plano euclidiano o resultado não será homeomorfo ao plano.

Antes de tecer mais alguns comentários sobre o problema acima, gostaria de enunciar o Teorema de Newman

Teorema (Donald J. Newman 1969). Se uma aplicação polinomial $\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ é injetiva, então ela também é sobrejetiva.

O teorema acima é parte de uma belíssima história na matemática que tem como palavra-chave “Teorema de Ax-Grothendick”. Se você quiser conhecer um pouco dessa história, sugiro o post publicado por Terence Tao em seu blog  What’s new (aqui).

De volta ao primeiro problema descrito acima, gostaria de observar que existe subconjunto semi-algébrico, próprio, do plano euclidiano de sorte que seu complementar continua homeomorfo ao plano. Com efeito, o complementar de uma semi-reta no plano é homeomorfo ao plano. Ora, se não fosse assim, o Teorema de Newman seria consequência imediata desse fato.  Infelizmente, a vida não é tão fácil! Ou não, como diria o Renan.

Então, finalizo esta postagem prometendo trazer uma solução bonita para o seguinte

Problema: Se $X\subset\mathbb{R}^2$ é subconjunto algébrico, próprio, então $\mathbb{R}^2\setminus X$ não é homeomorfo a $\mathbb{R}^2$.