Um tipo de desigualdade isoperimétrica. Solução.

O objetivo da postagem de hoje é apresentar uma prova para a proposição abaixo.

"Se uma curva divide o quadrado unitário em dois pedaços, então o comprimento da curva é maior do que ou igual ao valor da área de um desses pedaços."

Prova. Seja $\gamma$ uma curva que divide o quadrado unitário em pedaços A e B. Mostremos que o comprimento comp($\gamma$) dessa curva é maior do que ou igual ao mínimo das áreas {area(A),area(B)}.

Desde que o quadrado tem área unitária, podemos supor que o comprimento da curva é menor do que 1. 

Suponhamos que area(B) seja maior do que comp($\gamma$). Nesse caso, considerando G como sendo a projeção vertical do quadrado sobre a sua base (veja figura abaixo), temos que area(B) é menor do que ou igual à área do cilindro de base G(B) e altura 1 e, portanto, area(B) é menor do que o comprimento do intervalo G(B). 

Por outro lado, desde que G é uma projeção ortogonal, comp($\gamma$) é maior do que ou igual ao comprimento do intervalo G($\gamma$). Então, existe uma reta vertical que não intersecta $\gamma$ e intersecta B.

Se, também, temos que area(A) é maior do que comp($\gamma$), utilizando a projeção ortogonal F do quadrado sobre a sua lateral direita (veja figura acima), com uma análise semelhante à que fizemos acima, concluímos que existe uma reta horizontal no quadrado que não intersecta $\gamma$ e intersecta A. Desde que retas verticais sempre intersectam retas horizontais no quadrado, temos pontos de A e B que podem ser conectados por um arco poligonal no quadrado que não cruza a curva $\gamma$, resultando que A e B são partes do quadrado que não estão separadas pela curva $\gamma$.

Um tipo de desigualdade isoperimétrica

Hoje, trago um problema do tipo "desigualdade isoperimétrica".

Problema. Se uma curva divide o quadrado unitário em dois pedaços, então o comprimento da curva é maior do que ou igual ao valor da área de um desses pedaços.

De fato, apesar de apresentar a proposição acima como um problema do tipo "desigualdade isoperimétrica", ainda não é claro para mim que essa proposição decorre de algum teorema clássico de desigualdade isoperimétrica. Isso, eu realmente gostaria de saber. Ideias são muito bem-vindas!

Na próxima postagem, trarei uma solução bacaninha para o nosso problema de hoje. Espero!