... múltiplos irados...

por Bill Bastos e Breno Sampaio

Ao final de mais uma tarde de verão, três amigos se reúnem em uma refrigerada cafeteria de um shopping Center de Fortaleza para tomar algumas xícaras de café, falar de matemática e outros assuntos correlatos. Antes da primeira rodada de café, um problema sobre múltiplos irados, o qual foi proposto na revista RPM 77, veio à mesa. 

Aqui, faz-se necessaria a apresentação do conceito de número irado. Dizemos que um número natural é irado se ele é escrito, na base decimal, somente com 0's e 1's. 

De volta à narração, simultaneamente aos primeiros exemplos de números irados, chegou à mesa a primeira rodada de café: 3 expressos duplos! 

Problema. Mostrar que todo número natural possui um múltiplo irado.

Assim, sobre a mesa estavam o conceito de números irados, o problema acima e 3 expressos duplos. 

Senso comum: era hora de tomar um pouco de café, filosofar um pouco mais, encontrar a naturalidade da proposição acima. 

A aparente descontração daquele grupo ia se transformando em tensão. Aos olhos de quem se servia ao balcão da cafeteria e, de lá, estava à espera de um lugar mais confortável para se acomodar, um silêncio inexplicável também se punha sobre aquela mesa. 

Momentos que antecediam ao arremate final do problema, ainda antes de terminar a primeira xícara de café, os pensamentos convergiam para um único resultado. 

Teorema de Euler. Se $a$ e $n$  são números naturais relativamente primos, então $n$ divide $a^{\phi(n)}-1$.

Acima, $\phi$ é a função "phi" de Euler que é definida da seguinte forma: $\phi (n)$ é o número de naturais menores do que $n$ e relativamente primos com $n$.

Isso! O Teorema de Euler era suficiente para a construção de uma prova de que todo número natural possui um múltiplo irado. 

Solução do Problema. 
Seja $n$ um número natural. Escrevamos $n$ da seguinte forma: $n=2^a\cdot 3^b\cdot 5^c\cdot m$ em que $m$ é relativamente primo com $2,3,5$. 


Desde que 10 e $3^{b+2}\cdot m$ são relativamente primos, pelo Teorema de Euler, existe um número natural $k$ de sorte que

$k\cdot 3^{b+2}\cdot m = 10^{\phi(3^{b+2}\cdot m)}-1$

isto é,

$k\cdot 3^{b+2}\cdot m = 99\dots 9$

e, portanto,

$k\cdot 3^b\cdot m  = 11...1$.

Finalmente, recebemos que 

$(2^c\cdot 5^a\cdot k)\cdot n = 11\dots 10\dots 0$

é um múltiplo irado de $n$.

CQD

Para finalizar a postagem, vale ressaltar que essa prova da existência de múltiplos irados é puramente existencial no seguinte sentido: não apresentamos um algoritmo decente para o cálculo do menor múltiplo irado de um número natural qualquer.

Por exemplo, se utilizamos a demonstração acima para encontrar um múltiplo irado do número 13 obtemos o seguinte: pelo Teorema de Euler, 13 divide $10^{12}-1$, ou seja, 13 divide $999.999.999.999$ e, daí, 13 divide $111.111.111.111$. Essa prova produziu um múltiplo irado de 13 que, aparentemente, não possui relação com o menor múltiplo irado de 13, a saber, 1001.

As outras rodadas de café foram dedicadas à seguinte questão:

"há uma fórmula para obter o menor múltiplo irado de $n$ olhando apenas para a sua fatoração em primos?"

A questão acima permanece aberta!