O que é ... multiplicidade de pontos singulares?

Nesta nota, em linhas gerais, além de apresentar o conceito de multiplicidade de pontos singulares, trazemos, em perspectiva, a famosa Conjectura da Multiplicidade de Zariski e o contexto em que nossas principais contribuições sobre o assunto foram desenvolvidas e nossas parcerias científicas nesse projeto. Este texto foi escrito para fornecer um embasamento para algumas de minhas palestras sobre multiplicidade de pontos singulares.

Estrutura Analítica Local

Estamos no contexto de subconjuntos analíticos fechados $X\subset\mathbb{C}^n$. Dizemos que $X\subset\mathbb{C}^n$ possui a mesma estrutura analítica em $p\in X$ que $Y\subset\mathbb{C}^m$ em $q\in Y$ se existem vizinhanças $U\subset\mathbb{C}^n$ de $p$, $V\subset\mathbb{C}^m$ de $q$ e uma aplicação analítica $F\colon X\cap U\rightarrow Y\cap V$ com inversa $G\colon Y\cap V\rightarrow X\cap U$ também analítica. A definição acima define uma classe de equivalência no conjunto dos pares $(X,p)$. Uma classe de equivalência da relação acima é o que chamamos de uma estrutura analítica local. A linha de pesquisa intitulada Geometria Analítica Local tem como principal objetivo descrever e reconhecer todas as estruturas analíticas locais. Estabelecemos a classe de $(\mathbb{C}^n,0)$ como a estrutural analítica local mais simples e a denominamos por estrutura analítica local trivial.

Denotamos por $\mathcal{O}_{X,p}$ o conjunto das funções analíticas complexas definidas numa vizinhança do ponto $p$ sobre $X$ equipado naturalmente com as operações  de adição e multiplicação provenientes do espaço das funções com valores em $\mathbb{C}$. Verifica-se que $\mathcal{O}_{X,p}$ é um anel local com ideal maximal $\mathcal{M}_{X,p}$ constituído das funções que aplicam $p$ no valor $0\in\mathbb{C}$.

Teorema Os pares $(X,p)$ e $(Y,q)$ definem as mesmas estruturas analíticas locais se, e somente se, $\mathcal{O}_{X,p}$ e $\mathcal{O}_{Y,q}$ são isomorfos como $\mathbb{C}$-álgebras locais.

Vale observar que o teorema acima oferece uma alternativa de estudo da Geometria Analítica Local via uma abordagem completamente algébrica. 

Multiplicidade

A seguir, apresentamos o conceito de multiplicidade o qual aparece naturalmente como uma medida de não-trivialidade de estruturas analíticas locais.

Proposição (Definição) Seja $X\subset\mathbb{C}^n$ tal que sua dimensão numa vizinhança do ponto $p\in X$ é $d$. Se $L\colon\mathbb{C}^n\rightarrow\mathbb{C}^d$ é uma projeção linear genérica, então a sua restrição a $X\cap U$ define uma aplicação finita de grau $m$ para toda vizinhança suficientemente pequena $U\subset\mathbb{C}^n$ do ponto $p$. Além disso, o número inteiro $m$ não depende da projeção genérica escolhida. O número inteiro $m$ é chamado de a multiplicidade de $X$ em $p$ e é denotado por $\mu(X,p)$.

Como mencionado acima, no sentido que precisaremos abaixo, a multiplicidade $\mu(X,p)$ mede a não-trivialidade da estrutura analítica local do par $(X,p)$ quando $X$ tem dimensão pura numa vizinhança do ponto $p$, a saber: o par $(X,p)$ define uma estrutura analítica local trivial se, e somente se, $\mu(X,p)=1$.

Exemplo (Cúspide) $X=\{(x,y) \ : \ x^2=y^3\}$ em $\mathbb{C}^2$. Temos que a projeção ortogonal no eixo-$x$ \'e uma projeção linear genérica para $X$ no ponto $0\in X$ (pois não contém em seu núcleo vetores tangentes a $X$ no ponto $0$). Segue-se que $\mu(X,0)=2$.

Do ponto de vista algébrico, a multiplicidade de $X$ no ponto $p$ é introduzida via o Polinômio de Hilbert-Samuel do anel local $\mathcal{O}_{X,p}$ o qual apresentamos na proposição a seguir.  

Proposição (Definição)  Seja $X\subset\mathbb{C}^n$ tal que sua dimensão numa vizinhança do ponto $p\in X$ é $d$. Então, existe um polinômio $P_{X,p}$ de grau $d$ tal que $P_{X,p}(k)$ coincide com a dimensão do $\mathbb{C}$-espaço vetorial $\displaystyle\frac{\mathcal{O}_{X,p}}{\mathcal{M}_{X,p}^k}$ para todo inteiro $k$ suficientemente grande. Além disso, $d!$ multiplicado pelo coeficiente líder do polinômio $P_{X,p}$ é um número inteiro, o qual chamamos de multiplicidade de Hilbert-Samuel de $X$ em $p$.

De volta ao Exemplo da Cúspide acima, verifica-se que o polinômio de Hilbert-Samuel de $X,0$ é $P_{X,0}(t)=2t-1$, donde segue que a multiplicidade de Hilbert-Samuel de $X$ no ponto $0$ vale 2, isto é, coincide com $\mu(X,0)$. 

De uma forma geral, como resultado não trivial da Geometria Analítica Local, a multiplicidade $\mu(X.p)$ coincide com a multiplicidade de Hilbert-Samuel de $X$ no ponto $p$. Assim sendo, recorrendo ao teorema, enunciado alguns parágrafos acima, o qual possibilita o estudo da Geometria Analítica Local via uma abordagem totalmente algébrica, recebemos que $\mu(X,p)$ é um invariante da estrutura analítica local de $(X,p)$ no seguinte sentido: se os pares $(X,p)$ e $(Y,q)$ definem a mesma estrutura analítica local, então $\mu(X,p)=\mu(Y,q)$.

Existência de moduli

Embora a multiplicidade seja bastante para identificar as estruturas analíticas locais triviais, o exemplo a seguir nos mostra que invariantes discretos não são bastante para descrever todas as estruturas analíticas locais. 

Exemplo (4 retas)  Seja $X_{t} \ : \ xy(x-y)(x-ty)=0$ em $\mathbb{C}^2$. Tem-se que para $t\neq s$ genéricos, os pares $(X_{t},0)$ e $(X_s,0)$ não possuem a mesma estrutura analítica local.

Em outras palavras, o exemplo acima demonstra que existe uma quantidade não enumerável de estruturas analíticas locais. Os exemplos do tipo acima foram obtidos em meados da década de 60. Especificamente, o Exemplo das 4 retas é devido a H. Whitney (1965).

Topologia e Geometria Local

Ainda na década de 60, resultados que apontaram para a possibilidade de descrever a topologia local de conjuntos analíticos somente com invariantes discretos muito impulsionaram a pesquisa no tema e atraíram eminentes matemáticos para questões ainda hoje em aberto.

Nos parágrafos seguintes, definiremos o conceito de topologia local de conjuntos analíticos empregado no parágrafo acima e explicaremos com precisão as afirmações lá enunciadas. 

Conjectura da Multiplicidade de Zariski

Sejam $X$ e $Y$ subconjuntos analíticos fechados de um mesmo ambiente $\mathbb{C}^n$, e sejam $p\in X$, $q\in Y$. Dizemos que os pares $(X,p)$ e $(Y,q)$ são topologicamente equivalentes ou que possuem a mesma topologia local mergulhada em $\mathbb{C}^n$ se existem vizinhanças $U\subset\mathbb{C}^n$ de $p$ e $V\subset\mathbb{C}^n$ de $q$, e um homeomorfismo $F\colon U\rightarrow V$ tal que $F(X\cap U)=Y\cap V$ e $F(p)=q$.

Na década de 60, foi provado que existe uma quantidade enumerável de topologias locais mergulhadas de conjuntos analíticos; não sei a referência exata da primeira prova deste resultado, de todo modo, S. Lojasiewicz é uma boa referência para o tema.

Era conhecido por O. Zariski que a multiplicidade era um invariante da topologia local mergulhada de curvas analíticas no plano complexo, de modo que, em 1971, O. Zariski formulou a seguinte pergunta: se os pares $(X,p)$ e $(Y,q)$ de hipersuperfícies em $\mathbb{C}^n$ possuem a mesma topologia local mergulhada, então $\mu(X,p)=\mu(Y,q)$? 

Estrutura Lipschitz Local

Dizemos que $X\subset\mathbb{C}^n$ possui a mesma estrutura Lipschitz em $p\in X$ que $Y\subset\mathbb{C}^m$ em $q\in Y$ se existem vizinhanças $U\subset\mathbb{C}^n$ de $p$, $V\subset\mathbb{C}^m$ de $q$ e uma aplicação Lipschitz $F\colon X\cap U\rightarrow Y\cap V$ com inversa $G\colon Y\cap V\rightarrow X\cap U$ também Lipschitz. A definição acima define uma classe de equivalência no conjunto dos pares $(X,p)$. Uma classe de equivalência da relação acima é o que chamamos de uma estrutura Lipschitz local.

Ressaltamos a importância de citar algumas das principais referências de resultados pioneiros na proposta de investigação da multiplicidade como invariante de estruturas locais mais rígidas do que topológicas e menos do que analíticas, a saber: no artigo [6], Gau e Lipman provaram a invariância da multiplicidade para estruturas locais diferenciáveis (Ephraim abordou o caso de estruturas locais continuamente diferenciáveis [5]) e, no artigo [4], assumindo restrições severas sobre as constantes de Lipschitz que conjungam dois paraes $(X,p)$ e $(Y,q)$, Comte mostrou que $\mu(X,p)=\mu(Y,q)$.  

Em meados da década de 80, Tadeusz Mostowski provou que  existe uma quantidade enumerável de estruturas Lipschitz locais analíticos; esse resultado estimulou sobremaneira a pesquisa sobre a Geometria Lipschitz Local de conjuntos analíticos. Estabelecemos a classe de $(\mathbb{C}^n,0)$ como a estrutural Lipschitz local mais simples e a denominamos por estrutura Lipschitz local trivial.

Em trabalhos recentes escritos em parceria com Lev Birbrair (UFC), Javier de Bobadilla (BCAM), Edson Sampaio (UFC), Lê Dung Trang (Aix-Marseille) e Misha Verbitsky (IMPA) provamos os seguintes resultados.

1. Estrutura Lipschitz local trivial é equivalente a estrutura analítica local trivial [1] (Sampaio provou a versão mais completa deste resultado em [7]);
2. Em dimensão 2, a multiplicidade é um invariante da estrutura Lipschitz local [2];
3. Em dimensão maior do que 2, a multiplicidade não é invariante da estrutura Lipschitz local [3].

Em outras palavras, o primeiro resultado listado acima diz que multiplicidade igual a 1 é um invariante da estrutura Lipschitz Local. Quanto ao terceiro resultado acima, de fato, provamos que para qualquer dimensão $d$ maior do que 2 existem pares $(X,p)$ e $(Y,q)$ de dimensão $d$ com mesma estrutura Lipschitz local, porém com multiplicidades distintas. Portanto, os resultados 1 e 2 acima, juntamente com os resultados de Pham e Teissier que, no fim da década de 60,  demonstraram que a multiciplicidade é invariante da estrutura Lipschitz local em dimensão 1, podem ser resumidos da seguinte forma: a multiplicidade é invariante da estrutura Lipschitz local somente em dimensão 1 e 2.

Referências bibliográficas

[1] BIRBRAIR, L.; FERNANDES, A.; LÊ D. T. and SAMPAIO, J. E. Lipschitz regular complex algebraic sets are smooth. Proc. Amer. Math. Soc 144 (2016), pp 983--987.

[2] J. DE BOBADILLA; FERNANDES, A. and SAMPAIO, J. E. Multiplicity and degree as bi-Lipschitz invariants for complex sets. Journal of Topology 11 (2018), pp 957--965. 

[3] BIRBRAIR, L; FERNANDES, A. and SAMPAIO, J. E., Verbtisky, M. Multiplicity of singularities is not a bi-Lipschitz invariant. Math. Annalen 377 (2020), pp 115--121.

[4] COMTE, G. Multiplicity of complex analytic sets and bi-Lipschitz maps.

Real analytic and algebraic singularities (Nagoya/Sapporo/Hachioji, 1996 Pitman Res. Notes Math. Ser., vol. 381, pp.182--188, 1998.

[5] EPHRAIM, R. $C^1$ preservation of multiplicity.  Duke Math. 43 (1976) pp. 797--803.

[6] GAU, Y.-N. and LIPMAN, J. Differential invariance of multiplicity on analytic varieties.

Inventiones Mathematicae 73 (1983), pp. 165--188.

[7] SAMPAIO, J. E. Bi-Lipschitz homeomorphic subanalytic sets have bi-lipschitz homeomorphic tangent cones. Selecta Math. (N.S.) 22(2), pp 553--559, (2016).

[8] ZARISKI, O. Some open questions in the theory of singularities. Bull. of the Amer. Math. Soc. 77 (1971), pp 481--491.

Complementar de conjuntos algébricos em $\mathbb{R}^n$

"Seja $V\subset\mathbb{R}^n$ um subconjunto algébrico não vazio. Então, $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{R}^n-V$ não são homeomorfos"

Abaixo, segue uma prova do resultado acima

Por Rodrigo Mendes Pereira

Primeiramente, meus agradecimentos ao professor Alexandre pelo convite! 

A prova que vou apresentar aqui usa uma versão semialgébrica da Homologia de Borel-Moore. Ressalto que o interesse em trabalhar com uma teoria de homologia dentro da estrutura semialgébrica é, dentre outros fatores, por ter a disposição boas ferramentas (como decomposição celular, descrição por fórmulas e existência de uma boa triangulação). De posse disto, é garantida a existência de uma classe fundamental sobre variedades algébricas que é essencial, em particular, para esta prova. Vamos lá então!

Gostaria de iniciar uma sequência observações sobre conjuntos semialgébricos apresentando o conceito de dimensão de conjuntos semialgébricos. Temos um teorema de decomposição de conjuntos semialgébricos que garante o seguinte: cada $X$ semialgébrico pode ser escrito como união finita e disjunta (a menos de um homeomorfismo semialgébrico) de cubos unitários abertos $(0,1)^{d_i}, \  d_i \in \mathbb{N} \cup \left\{0\right\}, i = 1,2 \ldots, k$. Com isto temos uma definição natural para dimensão de $X$, a saber, $dim X = max\left\{d_1, \ldots, d_k \right\}$ 

Antes de iniciarmos a prova propriamente dita,  vamos definir e fixar mais alguns fatos importantes referentes à teoria de homologia semialgébrica.

•  Sobre triangulação

Se $X$ é um semialgébrico compacto em $\mathbb{R}^n$, então existem $|\mathcal{K}| \subset \mathbb{R}^n$ complexo simplicial finito e um homemorfismo  $\varphi: |\mathcal{K}| \rightarrow X$ tal que o gráfico de $\varphi$ é um conjunto semialgébrico em $\mathbb{R}^{2n}$ (definição de um aplicação semialgébrica) e tal triangulação pode ser escolhida compatível com uma família $X_1, X_2, \ldots, X_n$ de conjuntos semialgébricos em $X$. Isto significa que $\varphi^{-1}\left(X_i\right) = L_i$ subcomplexo de $\mathcal{K}$. Por outro lado, se X é ilimitado ou não contém todos os seus pontos de fronteira podemos obter uma versão semialgébrica da compactificação de Alexandrov:

 Existem, para X localmente compacto, um subconjunto semialgébrico $X^* \subset \mathbb{R}^{n+1}$ compacto, um mergulho  semialgébrico de $X$ em $X^*$ de forma que  $X^*-X = \left\{p\right\} \in \mathbb{R}^{n+1}$.

Portanto, de posse de uma triangulação de $X$ (localmente compacto) podemos definir a 

• Homologia semialgébrica de Borel-Moore

      $H_i^{BM}(X,\mathbb{Z}_2 )$, se $X$ for compacto, é definido por  $H_i(X, \mathbb{Z}_2)$ e, se $X$ não for compacto, é definido por $H_i(X^*,X^*-X, \mathbb{Z}_2)$.

$i = 0,1, \ldots, dimX$.

Um comentário: $H_i(X, \mathbb{Z}_2)$ trata-se de um grupo de homologia simplicial (e um espaço vetorial!), induzido pelo quociente entre ciclos e bordos sobre complexo de cadeias $\mathcal{C}_i(X,\mathbb{Z}_2)$, que não depende da triangulação, ou seja, é invariante topológico. Por conseguinte, também independem da triangulação, grupos de homologia relativa induzidos pelo quociente natural entre os respectivos complexos de cadeias (considerando uma escolha compatível de triangulação).

Vamos agora a 3 resultados que serão usados na demonstração (todos os grupos de homologia considerados são com coeficientes em $\mathbb{Z}_2$):

1. Sejam $A \subset B$ semialgébricos compactos em $\mathbb{R}^n$. Temos que

 $H_q(A,B) = H_q^{BM}(A - B)$.

2. Sejam $U \subset V$, $V$ localmente compacto e $U$ subconjunto semialgébrico fechado de $V$. Então existe uma sequência exata longa

      $\ldots H_{q+1}^{BM} (V - U) \rightarrow H_q^{BM}(U) \rightarrow H_q^{BM}(V) \rightarrow H_{q}^{BM}(V - U) \rightarrow \ldots $

   

3. (Existência da classe fundamental) Seja $X$ um conjunto algébrico compacto de dimensão $d$ e considere $\phi:|\mathcal{K}| \rightarrow X$ uma triangulação semialgébrica de $X$. A soma de todos os $d$-simplexos de $\mathcal{K}$ é um ciclo não nulo com coeficientes em $\mathbb{Z}_2$, elemento de $H_d(X,\mathbb{Z}_2)$. Este elemento (que denotaremos por $[X]$) é independente da escolha da triangulação e é dito a classe fundamental de $X$.

 Vamos  agora à prova do teorema: Ah! Nessa altura, vale lembrar o que se deseja provar:

Teorema principal.

O complemento de um subconjunto algébrico de $\mathbb{R}^n$ não é homeomorfo a $\mathbb{R}^n$.

Prova:

Para nossos propósitos vamos tomar grupos de homologia reduzida $\tilde{H}$:

$H_0(|\mathcal{K}|) = \mathbb{Z}\oplus \tilde{H}_0(|\mathcal{K}|)$ e $\tilde{H}_i(|\mathcal{K}|) = H_i(|\mathcal{K}|)$ se $i > 0$.

Considere $V$ algébrico com $dimV < n$ e a seguinte sequência exata:

$\ldots \rightarrow H_i^{BM}(V) \rightarrow H_i^{BM}(\mathbb{R}^n) \rightarrow H_{i}^{BM}(\mathbb{R}^n - V) \rightarrow H_{i-1}^{BM}(V) \ldots $

Sabemos que $H_n^{BM}(\mathbb{R}^n) = \mathbb{Z}_2$ e $H_i^{BM}(\mathbb{R}^n)=0$ para $i < n$. Além disso,

$H_{dimV}^{BM}(V)$ é não trivial e $H_i^{BM}(V) = 0, \ i > dimV$.

Pela exatidão da sequência acima, obtemos ($0 < i < n$)

 $0 \rightarrow H_i^{BM}(\mathbb{R}^n-V) \rightarrow H_{i-1}^{BM}(V) \rightarrow 0$

E, portanto, $H_i^{BM}(\mathbb{R}^n - V) = H_{i-1}^{BM}(V)$, \   $0< i < n$     (I)

Para $i = n$, ficamos com o seguinte:

 $0 \rightarrow \mathbb{Z}_2 \rightarrow H_n^{BM}(\mathbb{R}^n-V) \rightarrow H_{n-1}^{BM}(V) \rightarrow 0$

Como os elementos dessa sequência podem ser vistos como módulos sobre um corpo (espaços vetoriais) temos que: $H_n^{BM}(\mathbb{R}^n-V) = \mathbb{Z}_2 \oplus H_{n-1}^{BM}(V)$ (II).

Nesse ponto, olhando para a equação (II), se fossem $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{R}^n-V$ homeomorfos, não poderia ser $dim V = n-1$ pois

 $ \mathbb{Z}_2 = H_n^{BM}(\mathbb{R}^n) = \mathbb{Z}_2 \oplus H_{n-1}^{BM}(V)$

E nem poderia ser  $0\leq p = dimV < n-1$ pois usando a equação (I) teríamos

$0 = H_{p+1}^{BM}(\mathbb{R}^n) = H_{p}^{BM}(V)$

Logo, $V$ deve ser $\emptyset$ e isto conclui a prova.

Complementar de curvas algébricas em $\mathbb{R}^2$ II

A postagem de hoje é destinada a apresentação de uma solução para o seguinte problema.

Problema. O complemento de um subconjunto algébrico de $\mathbb{R}^2$ não é homeomorfo a $\mathbb{R}^2$.

Solução. Seja p(x,y) um polinômio irredutível que não muda de sinal em $\mathbb{R}^2$. Mostraremos que o conjuntos dos zeros deste polinômio é finito. De fato, dado (a,b) ponto que anula aquele polinômio, temos que, para qualquer que seja o vetor (u,v), a função real de uma variável real $t$ dada por

f(t)=p(a+tu,b+tv)

possui um ponto de mínimo em t=0, portanto, f'(0)=0, ou seja, o gradiente de  p(x,y) no ponto (a,b)  é ortogonal ao vetor (u,v). Desde que escolhemos o vetor (u,v) arbitrariamente, constatamos que o gradiente de p(x,y) se anula no ponto  (a,b).  Segue do Teorema de Bezout que  o conjunto dos zeros de p(x,y) é finito.

Suponhamos que X seja definido por um polinômio p(x,y). Isto é, X é o conjunto dos pontos (x,y) em que p(x,y)=0. Se os fatores irredutíveis de p(x,y) não mudam de sinal em $\mathbb{R}^2$ temos que X é um conjunto finito (foi o que vimos acima). Assim, o complemento de X  não é simplesmente conexo.

Então, resta-nos supor que p(x,y) possui um fator irredutível q(x,y) que muda de sinal em $\mathbb{R}^2$. Desta forma, os conjuntos abaixo

• pontos (x,y) em que q(x,y) é positivo
• pontos (x,y) em que q(x,y) é negativo

são abertos, disjuntos e não-vazios. Como o complemento de X é um subconjunto denso do plano que está contido na reunião dos conjuntos acima, temos que ele não é conexo.

C.Q.D.

Antes de finalizar esta postagem, gostaria de informar que o problema acima possui uma versão em dimensão n, quero dizer, temos o seguinte resultado em $\mathbb{R}^n$.

Teorema. O complemento de um subconjunto algébrico de $\mathbb{R}^n$ não é homeomorfo a $\mathbb{R}^n$.

Recentemente, meu aluno de mestrado, Rodrigo Mendes Pereira, escreveu sua dissertação sobre Homologia Semialgébrica sobre corpos reais fechados e provou uma versão do teorema acima para $\mathbb{K}^n$, em que $\mathbb{K}$ é um corpo real fechado. Por isto, convidei o Rodrigo a escrever uma postagem para este blog  trazendo uma demonstração para o teorema acima. Já estamos esperando, Rodrigo!