Irracionalidade de Raiz de 2

Esta semana, recebi um email de meu amigo Professor Diego Marques (UNB) comunicando que iniciara um projeto de postagem dos vídeos de suas palestras em um canal no youtube. Excelente iniciativa!!! Fui lá conferir. O primeiro vídeo é uma bela palestra em que o  Diego apresenta algumas provas da irracionalidade de $\sqrt{2}$ com o objetivo apresentar técnicas de  prova que são utilizadas em outros problemas correlatos. Esse vídeo corresponde à primeira aula de um minicurso sobre Teoria dos Números ministrado no IMPA.

Abaixo, compartilho o link  do referido vídeo

https://www.youtube.com/watch?v=uhZf8Oa2F7Q  

Antes de finalizar esta postagem, gostaria de dar a minha contribuição apresentando uma prova da irracionalidade de $\sqrt{2}$ diferente das apresentadas pelo Diego.

Observe que se a soma de dois quadrados de inteiros, digamos $m^2+n^2$, é divisível por 3 então cada inteiro, $m$ e $n$, é divisível por 3. Logo, se supusermos que $\sqrt{2}$ seja um número racional, podemos escrever $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$, em que $m$ e $n$ são números inteiros primos entre si. Então, $3n^2=m^2+n^2$, daí $m$ e $n$ necessariamente são múltiplos de 3. Absurdo!

Ah! Quase me esqueci que havia prometido que apresentaria, nesta postagem, uma solução do problema abaixo . 

Problema. Seja $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ uma função contínua tal que $f(f(f(x)))=x^2+1$ para todo $x$. Mostre que $f$ é uma função par.

Solução. Desde que $x^2+1>x$ para todo $x$, temos que $f$ não possui ponto fixo. Em particular, $f(0)\neq 0$. Sejam
$P=\{x : f(x)=f(-x)\}$ e $I=\{x : f(x)=-f(-x)\}$. Como $f$ é contínua, Temos que os subconjuntos acima são subconjuntos fechados de $\mathbb{R}$. Mostraremos que:

1. $\mathbb{R}=P\cup I$;

2. $P\cap I=\emptyset$.

Uma vez provados 1 e 2,desde que $\mathbb{R}$ é conexo e $0\in P$, segue  que $P=\mathbb{R}$, isto é, $f$ é uma função par.

Prova de 1.  

Dado $x$, temos que $f(x)^2+1=f(f(f(f(x))))=f(x^2+1)$. Portanto, $f(-x)^2+1=f(x)^2+1$, isto é, $x\in P\cup I$.

Prova de 2. 

Por contradição, suponha que $x\in P\cap I$. Logo $f(x)=0$ e $f(-x)=0$. Como $f(0)\neq 0$, garantimos a existência de um y positivo tal que $f(y)=0$.

Temos $f(1)=f(0^2+1)=f(f(f(f(0))))=f(0)^2+1>1$. Assim, a função $g(z)=f(z)-z$ é positiva no ponto 1 e negativa no ponto y. Pelo Teorema do Valor Intermediário, a função $g$ tem um zero, isto é, a função $f$ tem um ponto fixo. O que é um absurdo.

C.Q.D.

... múltiplos irados...

por Bill Bastos e Breno Sampaio

Ao final de mais uma tarde de verão, três amigos se reúnem em uma refrigerada cafeteria de um shopping Center de Fortaleza para tomar algumas xícaras de café, falar de matemática e outros assuntos correlatos. Antes da primeira rodada de café, um problema sobre múltiplos irados, o qual foi proposto na revista RPM 77, veio à mesa. 

Aqui, faz-se necessaria a apresentação do conceito de número irado. Dizemos que um número natural é irado se ele é escrito, na base decimal, somente com 0's e 1's. 

De volta à narração, simultaneamente aos primeiros exemplos de números irados, chegou à mesa a primeira rodada de café: 3 expressos duplos! 

Problema. Mostrar que todo número natural possui um múltiplo irado.

Assim, sobre a mesa estavam o conceito de números irados, o problema acima e 3 expressos duplos. 

Senso comum: era hora de tomar um pouco de café, filosofar um pouco mais, encontrar a naturalidade da proposição acima. 

A aparente descontração daquele grupo ia se transformando em tensão. Aos olhos de quem se servia ao balcão da cafeteria e, de lá, estava à espera de um lugar mais confortável para se acomodar, um silêncio inexplicável também se punha sobre aquela mesa. 

Momentos que antecediam ao arremate final do problema, ainda antes de terminar a primeira xícara de café, os pensamentos convergiam para um único resultado. 

Teorema de Euler. Se $a$ e $n$  são números naturais relativamente primos, então $n$ divide $a^{\phi(n)}-1$.

Acima, $\phi$ é a função "phi" de Euler que é definida da seguinte forma: $\phi (n)$ é o número de naturais menores do que $n$ e relativamente primos com $n$.

Isso! O Teorema de Euler era suficiente para a construção de uma prova de que todo número natural possui um múltiplo irado. 

Solução do Problema. 
Seja $n$ um número natural. Escrevamos $n$ da seguinte forma: $n=2^a\cdot 3^b\cdot 5^c\cdot m$ em que $m$ é relativamente primo com $2,3,5$. 


Desde que 10 e $3^{b+2}\cdot m$ são relativamente primos, pelo Teorema de Euler, existe um número natural $k$ de sorte que

$k\cdot 3^{b+2}\cdot m = 10^{\phi(3^{b+2}\cdot m)}-1$

isto é,

$k\cdot 3^{b+2}\cdot m = 99\dots 9$

e, portanto,

$k\cdot 3^b\cdot m  = 11...1$.

Finalmente, recebemos que 

$(2^c\cdot 5^a\cdot k)\cdot n = 11\dots 10\dots 0$

é um múltiplo irado de $n$.

CQD

Para finalizar a postagem, vale ressaltar que essa prova da existência de múltiplos irados é puramente existencial no seguinte sentido: não apresentamos um algoritmo decente para o cálculo do menor múltiplo irado de um número natural qualquer.

Por exemplo, se utilizamos a demonstração acima para encontrar um múltiplo irado do número 13 obtemos o seguinte: pelo Teorema de Euler, 13 divide $10^{12}-1$, ou seja, 13 divide $999.999.999.999$ e, daí, 13 divide $111.111.111.111$. Essa prova produziu um múltiplo irado de 13 que, aparentemente, não possui relação com o menor múltiplo irado de 13, a saber, 1001.

As outras rodadas de café foram dedicadas à seguinte questão:

"há uma fórmula para obter o menor múltiplo irado de $n$ olhando apenas para a sua fatoração em primos?"

A questão acima permanece aberta!