A reta não possui raiz (topológica). Solucão.

Na postagem anterior, propusemos o seguinte problema.

Não existe um espaço topológico $X$ tal que $\mathbb{R}$ seja homeomorfo a $X\times X$.

Abaixo, segue a solução apresentada pelo leitor Rodrigo Mendes. Eu tinha prometido postar a minha solução, mas mudei de ideia!

Solução

Se um tal espaço $X$ existe, então $X$ deve ser de Hausdorff e conexo. Mais ainda, desde que $X$ é  homeomorfo ao subconjunto diagonal de $X\times X$,  o qual é  um fechado de $X\times X$, devemos ter $X$ homeomorfo a um intervalo fechado de $\mathbb{R}$. Absurdo pois $\mathbb{R}$ não é  homeomorfo a um produto de dois intervalos.

                                                                   Final da Solução

Antes de finalizar esta postagem, gostaria de agradecer a todos que comentaram na postagem anterior e observar que aquela discussão sobre raizes de grupos foi bem interessante. Em primeira mão anuncio que Rafael e Bill prometeram postagens sobre esse assunto; já estamos esperando! 

A reta não possui raiz

Iniciei meu final de semana lendo o artigo intitulado "$\mathbb{R}^3$ has no root" escrito por Robbert Fokkink e publicado em 2002 no periódico American Math. Monthly. Fokkink mostra que não existe um espaço topológico $X$ tal que $\mathbb{R}^3$ seja homeomorfo a $X\times X$, isto é exatamente o que Fokkink entende por $\mathbb{R}^ 3$ não possuir uma raiz. Como Fokkink observa no artigo, é possível mostrar que $\mathbb{R}^3$ não possui raiz utilizando a fórmula de Kunneth para grupos de homologia local de espaços euclidianos, contudo a ideia de Fokkink é trazer uma prova elementar daquele fato. A prova de Fokkink é elementar e se baseia somente na seguinte observação

- Se $h\colon\mathbb{R}^ n\rightarrow\mathbb{R}^ n$ é um homeomorfismo, então $h^ 2=h\circ h$ é um homeomorfismo que preserva orientação.

Resolvi fazer uma pergunta mais básica; 

- $\mathbb{R}$ possui raiz ?

Utilizando somente Topologia Geral, cheguei a uma resposta negativa da pergunta acima. Então, fica prometido que na próxima postagem trarei a minha demonstração de que $\mathbb{R}$ não possui raiz.

Bom final de semana!

Pontos de acumulação e aplicação de um teorema bacana

Como havíamos prometido, esta postagem é destinada a uma solução do problema abaixo, o qual  foi proposto na postagem anterior.


Problema A. Não é possível escrever o plano real como reunião de quadrados fechados dois a dois disjuntos.


Para esse fim, recorremos a um teorema bacana relacionado ao conceito de ponto de acumulação.


Antes de apresentarmos o conceito de ponto de acumulação, para evitar qualquer sentimento paranoico do tipo que  compele o indivíduo a associar qualquer conceito matemático ao cotidiano, deixamos claro que, aqui, pontos de acumulação não têm relação com programas de cartões de crédito, milhagens de companhias aéreas   ou ainda com o bem-humorado blog do Renan. De toda sorte, no parágrafo seguinte, apresentamos a definição de  ponto de acumulação de um subconjunto da reta real.


Dizemos que um número real r é um ponto de acumulação de um subconjunto X da reta real se qualquer intervalo aberto contendo r contém, necessariamente, um elemento do subconjunto X o qual é diferente de r.


Denotamos por X' o subconjunto da reta real formado pelos pontos de acumulação de X.


Teorema Bacana. Seja X um subconjunto não-vazio da reta real. Se X=X', então X não é enumerável. 


Pode-se encontrar uma prova do teorema acima no livro "Curso de Análise Vol. 1" (Projeto Euclides, IMPA) do Professor Elon Lages Lima.


Como aplicação do Teorema Bacana, vejamos a versão 1-dimensional do problema proposto no início da postagem. A versão abaixo foi proposta por Rafael na seção de comentários da postagem anterior.


Versão 1-dimensional do Problema A. Não é possível escrever a reta real como reunião de intervalos fechados dois a dois disjuntos. 


Prova da versão 1-dimensional do Problema A. De fato, por contradição, suponhamos que exista uma cobertura da reta real por intervalos fechados dois a dois disjuntos. Denotemos por F essa família de intervalos e por X o subconjunto da reta formado pelos extremos dos intervalos da família F. Considere a função que a cada intervalo dessa família associa um  racional no interior desse intervalo. Desde que os intervalos dessa cobertura são dois a dois disjuntos, temos que essa função é injetiva. Portanto, a família F é enumerável e, em particular, o conjunto X também o é. Por outro lado, é fácil ver que X=X'. Agora, pelo Teorema Bacana, temos uma contradição.


Solução do Problema A. Por contradição, suponhamos que exista uma cobertura do plano real por quadrados fechados dois a dois disjuntos. Denotemos por Q essa família de quadrados. Considere a função que a cada quadrado dessa família associa um ponto  no interior desse quadrado  que tem coordenadas racionais . Desde que os quadrados dessa cobertura são dois a dois disjuntos, temos que essa função é injetiva. Portanto, a família Q é enumerável. Em particular, o conjunto formado pelos vértices dos quadrados da família Q é enumerável. Assim, temos uma R reta no plano real que não intersecta esse conjunto de vértices descrito acima.  Agora, pela construção da reta R, a interseção de R com cada quadrado da família Q ou bem é vazia ou é um intervalo fechado da reta R. Daí, temos que a reta R é coberta por uma reunião enumerável de intervalos fechados dois a dois disjuntos. O que contradiz a versão 1-dimensional do Problema A.

C.Q.D.

Para finalizar esta postagem,  gostaria de dizer que quem tiver interessado em conhecer a prova do Teorema Bacana, e não tiver acesso a uma referência, é só me enviar um mensagem que posso retorná-la com uma cópia da prova apresentada no livro Curso de Análise Vol. 1. É isso!

Curvas de Jordan no Toro II

Como prometido, nesta postagem apresentamos uma solução do seguinte problema. 


Problema. Encontrar um algoritmo tal que ao traçar uma curva de Jordan sobre a superfície do toro seja possível decidir se a curva demarca dois territórios sobre o toro.


A solução abaixo exige um pouco de familiaridade com topologia.


Solução.  Fixamos um paralelo f (em verde na figura abaixo) e um meridiano g (em azul na figura abaixo) com orientações definidas na figura.

Seja J uma curva de Jordan no toro com sentido de percurso definido.


Para cada ponto P no cruzamento da curva de Jordan J (em vermelho abaixo) com o paralelo f , definimos um número i(J,f,P) da seguinte forma:


i(J,f,P)=1 se o cruzamento ocorrer da seguinte forma

i(J, f, P) = -1 se o cruzamento ocorrer da seguinte forma

Consideramos o número inteiro m(f,J) definido como a soma de todos os números i(J,f,P) variando P nos pontos de cruzamento de J com f.


Analogamente, para cada ponto Q no cruzamento da curva de Jordan J com o meridiano g definimos o número  i(J,g,Q) e, também, definimos o número inteiro m(g,J) como a soma de todos os números i(J,g,Q) variando Q nos pontos de cruzamento de J com g.


Finalmente, temos que J divide o toro em dois territórios se, e somente se, os números inteiros m(f,J) e m(g,J) são iguais a zero.

Final da solução.

A partir daqui, mostramos porque o algoritmo acima funciona! A solução que apresentamos acima está fundamentada nos seguintes resultados.

Primeiro Resultado. Uma curva de Jordan demarca dois territórios no toro se, e somente se, ela pode ser continuamente deformada em um ponto sobre o toro.

Esse primeiro resultado não é trivial. No final da postagem segue uma ideia de sua prova.

Segundo Resultado. O grupo fundamental do toro é isomorfo ao grupo abeliano livre gerado por dois elementos.

De fato, do Segundo Resultado precisamos utilizar algo da construção do isomorfismo entre o grupo fundamental do toro, doravante denominado grupo G, e o grupo abeliano livre com dois geradores. Os meridianos e os paralelos definem os dois geradores do grupo G e os caminhos que podem ser deformados em J, vistos como elementos do grupo G, se escrevem de forma única como

m(f,J) f + m(g,J) g  

Desde que as curvas que podem ser deformadas em um ponto definem o elemento neutro do grupo G, concluímos que a curva de Jordan J pode ser deformada em um ponto se, e somente se, m(f, J) e m(g, J) são iguais a zero e, recorrendo ao Primeiro Resultado, concluímos que a curva de Jordan J demarca dois territórios sobre o toro se, e somente se, m(f, J) e m(g, J) são iguais a zero.


Para finalizar a postagem, apresentamos abaixo uma ideia da prova do Primeiro Resultado.  


Seja J uma curva de Jordan no toro.


Afirmação 1. 

 J se deforma em um ponto se, e só se, J é fronteira de um disco no toro

No caso em que J se deforma em um ponto, de acordo com o Teorema de Monodromia, o seu levantamento para o recobrimento universal do toro (no caso o plano) é uma curva de Jordan também e, pelo Teorema Clássico da Curva de Jordan, tal levantamento divide o plano em dois territórios e um desses territórios D é um disco topológico que tem o levantamento de J como fronteira. Com um pouco de esforço, mostra-se que a restrição do recobrimento a D é um homeomorfismo sobre a sua imagem e, portanto, J é fronteira de um disco topológico no toro. A recíproca é clara.

Afirmação 2. 

J é fronteira de um disco, se e só se, J demarca territórios no toro.

Suponhamos que J divide o toro em dois territórios A e B. Sejam A' a reunião de A com J e  B' a reunião de B com J. Abaixo temos figuras que dão uma ideia do que sejam A' e B'. 

Se, após o corte do toro ao longo da curva J, obtemos as figuras como as que estão imediatamente acima, temos que J é fronteira do disco topológico B. Demonstremos agora que devemos ter exatamente as figuras acima, após o corte do toro ao longo da curva J. De fato, se colamos um disco a A' (respectivamente B') colando a fronteira do disco à curva J obtemos duas superfícies fechadas no espaço cuja soma conexa é exatamente o toro. Pela classificação das superfícies fechadas, temos que umas delas é um toro e a outra é uma esfera, pois essa é a única possibilidade de se obter um toro como soma conexa de duas superfícies fechadas. Sem perda de generalidade, podemos supor que a esfera foi obtida de B' por colagem de um disco ao longo de J. Portanto, B' é exatamente como na figura acima.

A recíproca não oferece resistência.

Curvas de Jordan no Toro

Nosso amigo stick, apresentado na postagem anterior,  aprendeu em seu livro de topologia o que são curvas simples e fechadas (ou simplesmente curvas de Jordan)

Além disso, ele aprendeu que uma vez traçada uma curva de Jordan C sobre a esfera, os pontos da esfera que não estão na curva C podem ser agrupados em duas regiões que satisfazem a seguinte propriedade: os pontos de uma dessas regiões não podem ser ligados a pontos da outra região sem cruzar a curva C. Mais ainda, pontos de uma mesma região podem ser ligados por caminhos contidos na região.

Esse resultado, conhecido como o Teorema da Curva de Jordan, já foi contado e recontado em livros, artigos, blogs, dissertações, vídeos, de modo que é fácil encontrar boas referências sobre o assunto.   Segue um enunciado simplificado do Teorema de Jordan.

"Curvas de Jordan dividem a esfera em dois territórios "

Na figura acima, temos uma curva de Jordan em vermelho e as regiões que compõem o complementar da curva na esfera estão em azul e bege. 

Aplicação do conhecimento adquirido: sempre que o stick deseja se livrar do seu fiel companheiro, porém muito chato, cão stick, ele demarca duas regiões traçando uma curva de Jordan no solo e sobre a curva levanta uma cerca suficientemente alta.

Convidamos o stick, juntamente com o seu pegajoso cão stick, a visitar um planeta imaginário cuja superfície tem a forma de uma bóia salva-vidas  ou um biscoito do tipo rosquinha (donuts) ou ainda uma câmara de ar de pneu. Já chega, acho que vocês já me entenderam! De toda forma, vejam a figura abaixo.

Agora, sobre a superfície do estranho planeta imaginário, doravante chamado de planeta toro, sugerimos ao stick que utilize seus conhecimentos de topologia para isolar o insuportável cão.

Pouco tempo depois de o stick isolar o desagradável cão, como mágica, o enfadonho se junta ao seu dono, demonstrando assim que a intuição adquirida pelo stick não funciona no planeta toro. 

Isso mesmo, na sua primeira tentativa de traçar sobre o planeta toro uma curva Jordan e sobre essa curva levantar uma cerca suficientemente alta para isolar o cínico cão, o stick descobriu que existem curvas de Jordan no planeta toro cujos pontos de seu  complementar sempre podem ser conectados por um caminho que não cruza a curva de Jordan. 

Veja abaixo a trajetória (em azul) percorrida pelo cão para se juntar ao seu dono sem cruzar a cerca levantada sobre a curva de Jordan (em vermelho)

Problema. Descrever um algoritmo tal que sempre que o stick traçar uma curva de Jordan sobre a superfície do planeta toro ele possa decidir se a tal curva divide o toro em dois territórios.

Na próxima postagem, espero apresentar uma solução razoável para o problema acima. Enquanto isso, convido vocês a uma discussão sobre a solução desse problema. A área de comentários está de portas abertas!