Na postagem anterior, propusemos o seguinte problema.
Não existe um espaço topológico $X$ tal que $\mathbb{R}$ seja homeomorfo a $X\times X$.
Abaixo, segue a solução apresentada pelo leitor Rodrigo Mendes. Eu tinha prometido postar a minha solução, mas mudei de ideia!
Solução
Se um tal espaço $X$ existe, então $X$ deve ser de Hausdorff e conexo. Mais ainda, desde que $X$ é homeomorfo ao subconjunto diagonal de $X\times X$, o qual é um fechado de $X\times X$, devemos ter $X$ homeomorfo a um intervalo fechado de $\mathbb{R}$. Absurdo pois $\mathbb{R}$ não é homeomorfo a um produto de dois intervalos.
Final da Solução
Antes de finalizar esta postagem, gostaria de agradecer a todos que comentaram na postagem anterior e observar que aquela discussão sobre raizes de grupos foi bem interessante. Em primeira mão anuncio que Rafael e Bill prometeram postagens sobre esse assunto; já estamos esperando!
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