Triângulo Russo

Hoje encontrei um amigo que há muito tempo não via, Professor Ivair. Realmente, foi uma grande satisfação encontrá-lo novamente. Vocês podem estar perguntando por que eu relataria aqui um reencontro com um amigo. Já explico o porquê de um reencontro com  o Professor Ivair gerar uma postagem no Happy Hour Matemático. O negócio é o seguinte: ele conhece muitos e bons problemas de matemática, coleciona-os em apostilas e tem dezenas delas. Ele é, de fato, uma boa fonte para este blog. 

Não há como eu me encontrar com ele e não lembrar de um problema casca grossa. Confesso que hoje não foi diferente! Lembrei-me de um famoso problema de geometria plana conhecido como o Triângulo Russo, o qual, também, foi-me apresentado pelo Ivair em uma de nossas conversas na UFC. 

Abaixo segue o Problema do Triângulo Russo.

Sabendo que AB=AC, encontre o valor do ângulo x.

Até a próxima! 

12th International Workshop on Real and Complex Singularities

International Workshop on Real and Complex Singularities é um congresso de matemática promovido pelo Instituto de Ciências Matemáticas e Computação da USP que ocorre a cada dois anos na cidade de São Carlos (SP). O tradicional evento é marcado pela presença de renomados pesquisadores das áreas de Singularidades, Geometria Algébrica e Teoria de Bifurcações, assim como pela presença maciça de jovens pesquisadores/alunos brasileiros e estrangeiros. A edição deste ano celebrará o 60° aniversário do Professor Shyuichi Izumiya e ocorrerá na semana 22-27 de julho (link).

Vale a pena conferir!

Desigualdade de Weyl

Em 2007, um conhecido stick, um stick que de certa forma é observado pelos seus pares,  um tipo que se expressa com uma mão no bolso de sua calça e a outra livre fazendo movimentos como de um maestro que comanda uma orquestra sinfônica (acho que não sei defini-lo!), apresentou-me o seguinte problema:

É bem conhecido que os autovalores de uma matriz simétrica variam continuamente com a matriz. Podemos afirmar que essa variação é lipschitziana?

Aceitei o desafio e, juntamente com um colega de trabalho, obtive uma resposta positiva para a pergunta acima. Contudo, a solução obtida era muito feia e, para mim, aquela prova merecia ser esquecida. Antes de esquecê-la, refleti bastante sobre a seguinte frase de Michel Atiyah

"Existe teorema bonito com prova feia, mas não existe teorema feio com prova bonita".

Certamente, a dependência Lipschitz dos autovalores de uma matriz simétrica é um teorema bonito e, embora Sir Michael Atiyah trouxesse a permissão de termos provas feias para teoremas bonitos, eu sentia que aquele não seria o caso em que eu deveria me conformar com aquela prova, porque ela era demasiadamente feia. 

Pouco tempo depois, ministrando uma disciplina de álgebra linear, conheci uma prova adequada para a variação lipschitziana dos autovalores de matrizes simétricas.

O objetivo de hoje é mostrar de uma forma muito elegante a Desigualdade de Weyl, desigualdade que responde positivamente à pergunta daquele stick legal.

A partir daqui, passo à apresentação direta da Desigualdade de Weyl e sua prova. 

Inicialmente, lembramos que o espaço das matrizes de ordem $n$ admite uma norma definida da seguinte maneira: dada uma matriz $A$ de ordem $n$, $$\|A \|= max\{|Ax| \ : \ x\in\mathbb{R}^n, |x|=1\}.$$
No caso em que $A$ é uma matriz simétrica é muito fácil mostrar que $\|A\|$ coincide com o maior valor absoluto dos autovalores de $A$.

Antes de enunciarmos a desigualdade de Weyl, consideremos mais algumas notações. Para cada matriz simétrica $M$ de de ordem $n$, estabelecemos que o i-ésimo autovalor de $M$, denotado por $\lambda_i(M)$, respeita a seguinte ordem  $$\lambda_1(M)\geq\cdots\geq\lambda_n(M).$$
Utilizamos $x\cdot y$ para representar o produto interno euclidiano entre os vetores $x$ e $y$ em $\mathbb{R}^n$.

Desigualdade de Weyl
Sejam $A$ e $B$ matrizes simétricas de ordem $n$. Então, vale a seguinte desigualdade: $|\lambda_i(A)-\lambda_i(B) | \leq \| A-B \|, \ i=1,\dots,n$.

Prova. Sejam $\{x_1,\dots,x_n\}$ e $\{y_1,\dots,y_n\}$ bases ortonormais de $\mathbb{R}^n$ em que $x_i$ é autovetor de $A$ associado ao i-ésimo autovalor de $A$ e $y_i$ é autovetor de $B$ associado ao i-ésimo autovalor de $B$. Para cada $j=1,\dots,n$, seja $z_j$ vetor unitário na interseção dos subespaços $span\{x_1,\dots,x_j\}$ e $span\{y_j,\dots,y_n\}$. Como $\lambda_j(A)\leq Az_j\cdot z_j$ e $\lambda_j(B)\geq Bz_j\cdot z_j$, obtemos:

$\lambda_j(A)-\lambda_j(B)\leq \lambda_1(A-B)$.

Substituíndo $A$ por $-A$ e $B$ por $-B$ na desigualdade acima, obtemos:

$\lambda_j(A)-\lambda_j(B)\geq \lambda_n(A-B)$.

Juntando as duas últimas desigualdades, obtemos a almejada desigualdade de Weyl.

Final da Prova

Um tipo de desigualdade isoperimétrica. Solução.

O objetivo da postagem de hoje é apresentar uma prova para a proposição abaixo.

"Se uma curva divide o quadrado unitário em dois pedaços, então o comprimento da curva é maior do que ou igual ao valor da área de um desses pedaços."

Prova. Seja $\gamma$ uma curva que divide o quadrado unitário em pedaços A e B. Mostremos que o comprimento comp($\gamma$) dessa curva é maior do que ou igual ao mínimo das áreas {area(A),area(B)}.

Desde que o quadrado tem área unitária, podemos supor que o comprimento da curva é menor do que 1. 

Suponhamos que area(B) seja maior do que comp($\gamma$). Nesse caso, considerando G como sendo a projeção vertical do quadrado sobre a sua base (veja figura abaixo), temos que area(B) é menor do que ou igual à área do cilindro de base G(B) e altura 1 e, portanto, area(B) é menor do que o comprimento do intervalo G(B). 

Por outro lado, desde que G é uma projeção ortogonal, comp($\gamma$) é maior do que ou igual ao comprimento do intervalo G($\gamma$). Então, existe uma reta vertical que não intersecta $\gamma$ e intersecta B.

Se, também, temos que area(A) é maior do que comp($\gamma$), utilizando a projeção ortogonal F do quadrado sobre a sua lateral direita (veja figura acima), com uma análise semelhante à que fizemos acima, concluímos que existe uma reta horizontal no quadrado que não intersecta $\gamma$ e intersecta A. Desde que retas verticais sempre intersectam retas horizontais no quadrado, temos pontos de A e B que podem ser conectados por um arco poligonal no quadrado que não cruza a curva $\gamma$, resultando que A e B são partes do quadrado que não estão separadas pela curva $\gamma$.

Um tipo de desigualdade isoperimétrica

Hoje, trago um problema do tipo "desigualdade isoperimétrica".

Problema. Se uma curva divide o quadrado unitário em dois pedaços, então o comprimento da curva é maior do que ou igual ao valor da área de um desses pedaços.

De fato, apesar de apresentar a proposição acima como um problema do tipo "desigualdade isoperimétrica", ainda não é claro para mim que essa proposição decorre de algum teorema clássico de desigualdade isoperimétrica. Isso, eu realmente gostaria de saber. Ideias são muito bem-vindas!

Na próxima postagem, trarei uma solução bacaninha para o nosso problema de hoje. Espero!   

Teorema de Sylvester e Gallai

"Seja S um conjunto finito de pontos no plano euclidiano. Suponha que  cada reta que passa por dois pontos de S, necessariamente, contém um terceiro ponto de S. Então, os pontos de S estão sobre uma mesma reta."

O problema acima foi proposto na postagem anterior e, como prometido, hoje trago uma solução para ele. De fato, o primeiro matemático a propor esse problema foi James Joseph Sylvester em 1893. 

James Joseph Sylvester

Acredita-se que Sylvester não conhecia uma solução desse problema. A primeira prova desse resultado veio algumas décadas depois que Sylvester o propôs e é devida a Tibor Gallai. Abaixo, apresentamos a prova de Leroy Milton Kelly para o Teorema de Sylvester e Gallai.

Prova. Suponha que os pontos de S não estejam sobre uma única reta. Seja L(S) o conjunto de todas as retas que passam por dois pontos de S. Sejam p ponto de S e r reta de L(S) tais que a reta r não contém p e a distância de p a r seja a menor possível dentre tais pares. Por hipótese, a reta r contém 3 pontos de S. Digamos A, B e C (com B entre A e C). Sem perda de generalidade, podemos supor que o pé da perpendicular por p e r, o qual denotamos por Q, não está entre C e B (como na figura abaixo). 

Seja t a reta que passa por P e C (reta azul na figura acima). Denotemos por D o pé da perpendicular por B e a reta t. Assim, t  é uma reta de L(S) e B é um ponto de S que não pertence à reta t. Por outro lado, desde que os triângulos PQC e BDC são semelhantes, vemos que a distância de B à reta t é menor do que a distância de P à reta r. O que é um absurdo.

(Fonte: "As provas estão n'O LIVRO" de Aigner-Ziegler ed. Edgar Blucher LTDA).

Um dia de russos na polícia federal

Em uma manhã de muito calor em Fortaleza, dois sticks russos de São Petersburgo estão submetidos à burocracia brasileira para solicitação de visto permanente. Essa é exatamente a situação em que ocorre a cena abaixo.

Embora não exista uma grande fila na Polícia Federal para realização de tal procedimento, os desencontros de informações, a lista de documentos e os caprichos que envolvem tal processo deixam qualquer um nervoso. 

Mas, como estamos falando de sticks russos de São Petersburgo, a fala da cena acima não é um comentário sobre a situação chata e de ansiedade em que eles estão submetidos. Isso mesmo, a fala acima é uma proposta de desafio matemático que, obviamente, foi imediatamente aceita pelo outro stick. O problema proposto foi o seguinte:

Problema. Dados n pontos no plano euclidiano, suponha  que cada reta por dois desses pontos, necessariamente, contém um terceiro ponto do conjunto dado. Mostre que todos os pontos do conjunto dado estão sobre uma mesma reta.

Na próxima postagem, trarei uma solução do problema acima.

Créditos: problema comunicado pelo Professor Lev Birbrair da UFC.