Eu e Renan
(meu aluno de iniciação científica), recentemente, quando estudávamos o Teorema
de Newman (ver abaixo), deparamo-nos com o seguinte problema: se removermos um subconjunto algébrico,
próprio, do plano euclidiano o resultado não será homeomorfo ao plano.
Antes de
tecer mais alguns comentários sobre o problema acima, gostaria de enunciar o
Teorema de Newman
Teorema (Donald J. Newman 1969). Se uma aplicação polinomial $\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ é injetiva, então ela também é sobrejetiva.
O teorema
acima é parte de uma belíssima história na matemática que tem como
palavra-chave “Teorema de Ax-Grothendick”. Se você quiser conhecer um pouco dessa
história, sugiro o post publicado por Terence Tao
em seu blog What’s new (aqui).
De volta ao
primeiro problema descrito acima, gostaria de observar que existe subconjunto
semi-algébrico, próprio, do plano euclidiano de sorte que seu complementar
continua homeomorfo ao plano. Com efeito, o complementar de uma semi-reta no
plano é homeomorfo ao plano. Ora, se não fosse assim, o Teorema de Newman
seria consequência imediata desse fato.
Infelizmente, a vida não é tão fácil! Ou não, como diria o Renan.
Então,
finalizo esta postagem prometendo trazer uma solução bonita para o seguinte
Problema:
Se $X\subset\mathbb{R}^2$ é subconjunto algébrico, próprio, então $\mathbb{R}^2\setminus X$ não é homeomorfo a $\mathbb{R}^2$.
Estou curioso para ver essa solução bonita deste fato.
ResponderExcluirOk Renan,
Excluirfica combinado que ainda nesta semana postarei a solução daquele problema.
Como sugestão, tente resolver o problema considerando X como o conjunto dos zeros de um polinômio irredutível p(x,y). Não se esqueça do Teorema de Bezout!