Uma generalização do teste das raízes racionais

As considerações desta postagem surgiram ainda quando eu era aluno do curso de mestrado em matemática da UFC. Juntamente com o meu colega de turma Antonio Caminha e o professor Manoel Azevedo analisávamos um problema proposto na XVII Olimpíada Brasileira de Matemática de 2° Grau (1995). Neste, pedia-se para provar que um dado polinômio de coeficientes inteiros não possuía raízes da forma  em que r é um número racional. A solução que obtivemos para esse problema fornece uma  curiosa generalização para o teste das raízes racionais para polinômios de coeficientes inteiros.


Dizemos que um número real  é radical racional se   para algum par  .


Problema. Mostrar que o polinômio

não possui um radical racional como raiz.


A nossa solução para esse problema se baseia no seguinte resultado


Teorema A. O polinômio minimal de um radical racional é um binômio.


Quando um número real x é raiz de um polinômio com coeficientes racionais  existe um único polinômio irredutível , no anel dos polinômios de coeficientes racionais, e mônico (i.e. com coeficiente líder 1) que se anula nesse número x. Tal polinômio é chamado de polinômio minimal de x. Além disso, dizemos que o grau desse polinômio minimal é o  grau  de x sobre os racionais.


Solução do Problema.
O polinômio  é mônico e, pelo Critério de Irredutibilidade de Eisenstein,  é irredutível no anel dos polinômios com coeficientes racionais. Como  não é um binômio, pelo Teorema A, ele não pode se anular em um radical racional.

Final da solução

Neste parágrafo, demonstramos como utilizar o Teorema A  para receber uma generalização do teste das raízes racionais para polinômios de coeficientes inteiros. Antes disso, vale a pena relembrar o teste das raízes racionais.


Teste das raízes racionais. Seja  polinômio com coeficientes inteiros. Então as raízes racionais desse polinômio estão contidas no seguinte conjunto de teste

Vejamos como utilizar o teste acima para mostra que o polinômio

não possui raízes racionais. De fato, como os divisores de 1 (coeficiente líder do polinômio) são 1,-1 e os divisores de 2 (termo independente do polinômio) são 1,-1,2,-2 o conjunto de teste do polinômio acima é {1,-1,2,-2}. Como o polinômio acima não se anula no conjunto de teste, concluímos que ele não possui raízes racionais.


Uma vez relembrado o teste das raízes racionais, deixe-nos apresentar o que aqui chamamos de teste das raízes radicais racionais.


Teste das raízes radicais racionais. Seja  polinômio com coeficientes inteiros. Então as raízes radicais racionais de  de grau m estão contidas no conjunto de teste


a.  se  ou


b.  caso contrario.

Prova. Seja   uma raiz do polinômio  que é um radical racional. Escrevemos

z é um inteiro e  são polinômios irredutíveis no anel dos polinômios de coeficientes inteiros e, portanto,  também são irredutíveis no anel dos polinômios de coeficientes racionais. Temos que  é raiz de algum polinômio  e, pelo Teorema A, segue que  é um binômio, digamos . Para obter as relações em a. e b. acima, basta observar que  divide  no anel dos polinômios de coeficientes inteiros.

Final da prova do teste das raízes radicais racionais

Finalmente, apresentamos abaixo um roteiro de demonstração  do Teorema A.


Dizemos que um para  é  simples se  para todo inteiro positivo k  tal que .


1. Para cada radical racional  existe um par  simples tal que .


2. Se  é simples, então  sempre que o inteiro positivo k  for menor do que m.


3. Se  é simples, então o polinômio  é irredutível no anel dos polinômios de coeficientes racionais.