Conjuntos infinitos

Meus amigos, é isso mesmo que vocês estão pensando! A cena acima é de um stick bravo soltando o verbo contra um stick confuso. Explico! Os nobres sticks promoveram uma partida de futebol não convencional, Flamenguinho versus Peñarol. O inusitado é por conta de que cada time seria composto de infinitos atletas. Isso mesmo, infinitos atletas em cada equipe, coisas do mundo stick! Até aí, os nobres estavam em acordo. Contudo, no dia do evento, no momento da apresentação dos atletas escalados, vejam a surpresa.

Flamenguinho  (Azul e Amarelo)        Peñarol (Vermelho e Branco)

Camisa 1 - Umberto                             Camisa 0 - Zeromildo 

Camisa  2- Doisberto                           Camisa 1 - Umildo

...                                                          ...

Camisa N - Nberto                               Camisa N - Nmildo

...                                                          ... 

Imediatamente após a apresentação dos atletas da equipe do Peñarol, o nobre representante da equipe do Flamenguinho protestou alegando que estaria com um jogador a menos, pois o Flamenguinho escalou jogadores com as camisas 1,2,...,n,... e o Penãrol escalou jogadores com tais camisas e, além disso, escalou um jogador com a camisa 0.

É isso, na cena do início da postagem temos o nobre flamenguista  bravo por entender que iniciaria a partida com um jogador a menos enquanto o representante do Peñarol estava confuso pois para ele infinito é infinito... Sabe-se lá o que passava na cabeça dele!

Momento de reflexão... 

Até que um velho e sábio stick resolveu interferir na discussão e sugeriu que o Flamenguinho utilizasse o seu uniforme reserva, o qual contém as camisas 0,1,2,...,n,... , e reescalasse a equipe da seguinte forma

Nova escalação do Flamenguinho

Camisa 0 - Umberto 

Camisa 1 - Doisberto

Camisa 2 - Trêsberto

...

Camisa n - (n+1)berto

...

Acima, temos os mesmos jogadores inicialmente escalados no Flamenguinho, porém, agora com as camisas 0,1,2,...n,... assim como o Peñarol!

Depois da solução apresentada pelo velho e sábio stick, não temos mais um stick bravo e outro confuso, agora temos dois sticks confusos

Segue uma explicação para razoável sugestão apresentada pelo velho e sábio stick.

Para decidirmos se dois conjuntos (finitos) A e B têm a mesma quantidade de elementos fazemos um emparelhamento entre os elementos de A e B. Por exemplo, se A representa o conjunto de cadeiras em uma sala de aula e B representa o conjunto de alunos nessa sala de aula. Pedimos para que cada aluno sente-se sozinho em uma cadeira (emparelhamos). Se alguns alunos ficarem sem cadeiras, então B tem mais elementos do que A. Se algumas cadeiras ficarem vazias, concluiremos que A tem mais elementos do que B. E, finalmente, se em cada cadeira tivermos um único aluno, concluiremos que A e B possuem a mesma quantidade de elementos. Essa última situação, isto é, quando cada aluno está sentado em uma única cadeira e não sobra cadeira, corresponde ao fato matemático que existe uma bijeção entre os conjuntos A e B.

O que observamos na solução do problema de escalação dos times acima é que existe uma bijeção entre os conjuntos 

{1,2,...,n...} e {0,1,2,...,n,...}.  Portanto, utilizando a ideia de emparelhamento (ou bijeção) para estabelecer uma noção de que pares de conjuntos infinitos possuem a mesma quantidade de elementos, concluímos que o Flamenguinho e o Peñarol possuem a mesma quantidade de atletas escalados.


Um conceito matemático

Quando um conjunto infinito X está em bijeção com o conjunto dos números naturais {1,2,...,n,...} significa que podemos escrever o conjunto X da seguinte forma 

nesse caso, dizemos que o conjunto infinito X é enumerável.

Com um pouco de criatividade, é possível mostrar que existe bijeção entre os conjuntos {...,-2,-1,0,1,2,...} e {1,2,...,n,...}., ou seja, o conjunto dos números inteiros é um exemplo de conjunto infinito enumerável.

Dois fatos relevantes :

1. O conjunto dos números racionais é enumerável
2. O conjunto dos números reais não é enumerável. Lembre-se disso, NÃO é possível escrever o conjunto dos números reais da seguinte forma

Abaixo, segue um vídeo muito interessante (e informal) sobre conjuntos infinitos enumeráveis e algumas propriedades.