os A e B definem uma única reta (chamada de reta pelos pontos A e B).
Dado um ponto X na reta pelos pontos A e B, temos que os vetores AX (vetor com origem no ponto A e extremidade no ponto X) e BX (vetor com origem no ponto B e extremidade no ponto X) são paralelos, ou seja, existe um número real r tal que AX = rBX (o vetor BX é um múltiplo do vetor AX). O número r, como definido agora, indica a posição relativa em que o ponto X está posicionado na reta com respeito aos pontos A e B.
Neste exemplo acima, AX = 2BX (r = 2), tem-se que o ponto B vem como ponto médio do segmento com extremidades A e X.
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Neste outro exemplo acima, AX = -1/2BX (r = -1/2), tem-se que o ponto X está posicionado entre os pontos A e B.
Quando temos AX = r BX, usamos a notação AX/BX para representar o número real r.
Considere, agora, os pontos A e B e na reta pelos pontos A e B considere dois pontos X e Y. Definimos a razão cruzada (A,B:X,Y) por (AX/BX) : (AY/BY).
Teorema. A
razão cruzada (A,B:X,Y) de quatro pontos colineares é um invariante
projetivo. Em outras palavras, se A’, B’, X’, Y’ são outros quatro pontos colineares e tais que
as retas pelos pontos A e A’;
B e B’; X e X’; Y e Y’ concorrem em
um ponto O, então (A,B:X,Y) = (A’,B’:X’,Y’)
Aplicação ao estudo de Metrologia em
Imagens
Na imagem
abaixo, à esquerda, temos uma rodovia com medidas exatas de sinalização nos
pontos A e B; um carro no ponto C e um cruzamento
sinalizado pelo ponto D. À direita, temos uma fotografia da mesma rodovia,
agora visualizada por uma câmera em um ângulo não perpendicular ao plano da
pista com os respectivos pontos de marcação A’,B’,C’,D’ (representando
os pontos A,B,C,D na fotografia). Com a foto posta na tela de um
computador, tem-se facilmente as medidas (em pixels) das distâncias entre os
pontos A’ e D’ (no caso 300 pixels), A’ e C’ (no
caso 275 pixels), B’ e C’ (no caso 50 pixels). O problema é:
encontrar a real distância do carro que está no ponto C ao cruzamento
que está no ponto D. Confira a solução na imagem abaixo.
A imagem acima
e a aplicação foram extraídas do vídeo “Robotics – 4.2.4 – Projective Transformations
– Cross Ratios and Single View Metrology” https://www.youtube.com/watch?v=-5B7llKIq10&t=31s.
